Question

ДАЮ 100 БАЛЛОВ!!!ПОМОГИТЕ СРОЧНО!!!!!! Решите систему уравнений x^2+y^2=1 x^3+y^5=1

Answer 1

Ответ:

(0;1), (1;0)

Пошаговое объяснение:

x²+y²=1 ⇒ -1≤x≤1, -1≤y≤1  ⇒  x²≥x³, y²≥y⁵

1=x³+y⁵≤x²+y²=1

Равенство достигается только при одновременном выполнении двух условий x²=x³, y²=y⁵

x²=x³

x²-x³=0

x²(1-x)=0

x₁=0⇒у₁=1

х₂=1⇒у₂=0

Answer 2

Для решения данной системы уравнений методом исключения можно возвести оба уравнения в степень, чтобы избавиться от переменных в знаменателях:

Исходные уравнения:

1. x^2 + y^2 = 1
2. x^3 + y^5 = 1

Возведем оба уравнения в квадрат и получим:

1. (x^2 + y^2)^2 = 1
2. (x^3 + y^5)^2 = 1

Раскроем скобки в обоих уравнениях:

1. x^4 + 2x^2y^2 + y^4 = 1
2. x^6 + 2x^3y^5 + y^10 = 1

Теперь выразим x^4 и x^6 во втором уравнении с помощью первого уравнения:

Из первого уравнения: x^2 + y^2 = 1, следовательно, x^2 = 1 - y^2.

Подставим это значение во второе уравнение:

(1 - y^2)^2 + 2x^2y^2 + y^4 = 1

Упростим:

1 - 2y^2 + y^4 + 2(1 - y^2)y^2 + y^4 = 1

1 - 2y^2 + y^4 + 2y^2 - 2y^4 + y^4 = 1

1 - 2y^2 + y^4 + 2y^2 - 2y^4 + y^4 = 1

Теперь у нас есть уравнение, в котором нет переменной x:

-2y^2 + y^4 - 2y^4 + y^4 = 0

-2y^2 - y^4 = 0

Теперь можно решить это квадратное уравнение относительно y^2:

-2(y^2)^2 - y^2 = 0

-2y^2(y^2 + 1) = 0

Теперь у нас есть два возможных значения y^2:

1. y^2 = 0
2. y^2 + 1 = 0

Для первого случая (y^2 = 0) получаем y = 0.

Для второго случая (y^2 + 1 = 0) получаем y^2 = -1, что не имеет действительных решений.

Теперь найдем соответствующие значения x, используя первое уравнение:

1. x^2 + y^2 = 1

Для y = 0 получаем:

x^2 + 0 = 1 x^2 = 1 x = ±1

Таким образом, у нас есть две пары решений для данной системы уравнений:

1. x = 1, y = 0
2. x = -1, y = 0

Каждая из этих пар удовлетворяет обоим исходным уравнениям.