Question

Найдите количество положительных целых чисел, меньших 101, которые нельзя записать в разности квадратов каких-либо двух натуральных чисел​

Answer 1

Ответ:

27 чисел.

Пошаговое объяснение:

Выпишем квадраты целых чисел:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849, 1936, 2025, 2116, 2209, 2304, 2401, 2500.

Я выписал все квадраты до 50^2.

Причем не заглядывая в таблицу квадратов! Всё решил в уме.

Разность двух последних равна 99.

Теперь выпишем все имеющиеся разности до 100 включительно:

3, 5, 7, ..., 97, 99 - все нечётные, всего их (99-3)/2 + 1 = 49 разностей.

Теперь считаем чётные разности:

9-1=8; 16-4=12; 25-1=24; 25-9=16; 36-4=32; 36-16=20; 49-1=48; 49-9=40; 49-25=24;

64-4=60; 64-16=48; 64-36=28; 81-1=80; 81-9=72; 81-25=56; 81-49=32;

100-4=96; 100-16=84; 100-36=64; 100-64=36; 121-25=96; 121-49=72; 121-81=40;

144-64=80; 144-100=44; 169-81=88; 169-121=48; 196-100=96; 196-144=52; 225-169=56;

256-196=60; 289-225=64; 324-256=68; 361-289=72; 400-324=76; 441-361=80;

484-400=84; 529-441=88; 576-484=92; 625-529=96; 676-576=100.

Всё, дальше все разности будут больше 101.

Получились чётные разности:

8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92, 96, 100.

Получилось 24 чётных разности и 49 нечётных.

Всего 73 разности может быть.

Остальные 100-73 = 27 чисел нельзя представить, как разность квадратов.

Answer 2

Для решения этой задачи рассмотрим, какие целые числа можно представить в виде разности квадратов двух натуральных чисел.

Разность квадратов $a^2 - b^2$ может быть записана в виде $(a + b)(a - b)$. Таким образом, любое целое число $n$, которое можно представить в виде разности квадратов, должно быть произведением двух натуральных чисел $a + b$ и $a - b$.

Если $n$ нечетное, то и $a$ и $b$ должны быть нечетными, чтобы произведение $(a + b)(a - b)$ было нечетным. Если $n$ четное, то хотя бы одно из чисел $a$ и $b$ должно быть четным.

Теперь рассмотрим числа меньше 101. В этом диапазоне есть 50 четных чисел и 50 нечетных чисел.

1. Рассмотрим нечетные числа. Любое нечетное число можно представить в виде разности квадратов, если оно само является квадратом (например, 1, 9, 25) или если оно имеет простой делитель $p$, такой, что $\left(\frac{p-1}{2}\right)$ тоже является квадратом. Таким образом, из 50 нечетных чисел не могут быть представлены в виде разности квадратов только те, которые являются квадратами простых чисел, больших 2.

2. Рассмотрим четные числа. Любое четное число можно представить в виде разности квадратов, если оно делится на 4 или если у него есть простые делители $p$, такие, что $\left(\frac{p-1}{2}\right)$ тоже является квадратом.

Таким образом, если мы исключим те нечетные числа, которые являются квадратами простых чисел, больших 2, и вычтем те четные числа, которые не могут быть представлены в виде разности квадратов, мы получим количество чисел, которые нельзя записать в разности квадратов каких-либо двух натуральных чисел.

Вам нужно пройти через все числа до 101, проверить условия и подсчитать количество чисел, которые соответствуют этим условиям.