Question

При каких значениях параметра а система не имеет решений:(а+3)x+4y=3a-5 ax+(a-1)y=2

Answer 1

Ответ: -1

Пошаговое объяснение:

$\begin{cases}(a+3)x+4y=3a-5\\ax+(a-1)y=2\end{cases}$

Если $a=1$

$\begin{cases}4x+4y=-2\\x=2\end{cases}\begin{cases}y=-2.5\\x=2\end{cases}$

Система имеет решение

Если $a\ne1$

$\begin{cases}y=-\dfrac{a+3}{4}x+\dfrac{3a-5}{4}\\y=-\dfrac{a}{a-1}x+\dfrac{2}{a-1}\end{cases}$

Графиком каждого уравнения системы является прямая

Система не имеет решений тогда и только тогда, когда данные две прямые не имеют общих точек

Для этого необходимо и достаточно, чтобы они были параллельны и не совпадали

Прямые параллельны в том случае, если у них равные угловые коэффициенты

$-\dfrac{a+3}{4}=-\dfrac{a}{a-1}\\(a+3)(a-1)=4a\\a^2-2a-3=0\\a_1=-1\\a_2=3$

Убедимся, что при найденных значениях параметра прямые не совпадают

При $a=-1$ свободные коэффициенты равны $\dfrac{3a-5}{4}=-2$ и $\dfrac{2}{a-1}=-1$, значит при $a=-1$ система не имеет решений

При $a=3$ свободные коэффициенты равны $\dfrac{3a-5}{4}=1$ и $\dfrac{2}{a-1}=1$, значит при $a=3$ прямые совпадают и система имеет бесконечно много решений

Answer 2

Для того чтобы система линейных уравнений не имела решений, определитель матрицы коэффициентов системы должен быть равен нулю. Матрица коэффициентов имеет следующий вид:

cssCopy code
| a + 3   4 |
|  a     a - 1 |

Определитель такой матрицы можно вычислить как произведение диагональных элементов минус произведение побочных диагональных элементов:

Det = (a + 3)(a - 1) - 4a

Раскроем скобки и упростим выражение:

Det = a^2 + 2a - 3 - 4a Det = a^2 - 2a - 3

Теперь нам нужно найти значения параметра "a", при которых Det = 0:

a^2 - 2a - 3 = 0

Это квадратное уравнение. Мы можем решить его с помощью дискриминанта (D = b^2 - 4ac):

D = (-2)^2 - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16

D > 0, поэтому у уравнения есть два корня:

a1 = (-b + √D) / (2a) = (2 + 4) / 2 = 6 / 2 = 3 a2 = (-b - √D) / (2a) = (2 - 4) / 2 = -2 / 2 = -1

Таким образом, система не будет иметь решений при a = 3 и a = -1.