Question

В правильной треугольной пирамиде Апофема равна 10 см, и она составляет с плоскостью основания угол 60°. Найти площадь полной поверхности пирамиды. Пожалуйста, распишите решение как можно подробнее.

Answer 1

Проекция апофемы A на основание равна (1/3) высоты h треугольника основания пирамиды.

(1/3)h = A*cos 60° = 10*(1/2) = 5 см.

Высота основания h = 3*5 = 15 см.

Отсюда находим сторону а основания:

a = h/cos 30° = 15/(√3/2) = 30/√3 = 10√3.

Площадь основания So = a²√3/4 = 300√3/4 = 75√3 см².

Площадь боковой поверхности равна:

Sбок = (1/2)РА = (1/2)*(3*10√3)*10 = 150√3 см².

Площадь полной поверхности пирамиды равна:

S = So + Sбок = 75√3 + 150√3 = 225√3 ≈ 389,7114 см².

Answer 2

Для начала, найдем высоту треугольной пирамиды, используя теорему Пифагора.

По определению, апофема (r) - это расстояние от вершины треугольной пирамиды до центра ее основания. Так как у нас правильная треугольная пирамида, то центр основания совпадает с центром описанной окружности. Поэтому основание является равносторонним треугольником.

По условию, апофема равна 10 см, а в равностороннем треугольнике апофема является высотой. Поэтому высота треугольной пирамиды равна 10 см.

Поскольку у нас правильная треугольная пирамида, то угол между апофемой и плоскостью основания составляет 60°.

Теперь найдем площадь поверхности полной пирамиды.

По определению, полная поверхность пирамиды состоит из поверхностей ее основания и всех боковых граней.

Площадь поверхности основания можно найти по формуле для площади равностороннего треугольника: S_основания = (a^2√3)/4, где a - длина стороны основания.

В равностороннем треугольнике сторона (a) равна диаметру вписанного круга (2r), где r - радиус описанной окружности.

Так как у нас апофема (r) равна 10 см, то радиус описанной окружности равен половине апофемы: r = 10/2 = 5 см.

Стало быть, сторона равностороннего треугольника равна: a = 2r = 2 * 5 = 10 см.

Подставляем значения в формулу для площади основания: S_основания = (10^2√3)/4 = 100√3/4 = 25√3 см^2.

Теперь найдем площадь боковой поверхности.

Боковая поверхность треугольной пирамиды состоит из трех боковых граней, каждая из которых является равносторонним треугольником.

Длина боковой грани равна стороне основания (a), а высота боковой грани равна апофеме (r). Поэтому площадь боковой поверхности каждой грани можно найти по формуле S_грани = (a * r)/2.

Подставляем значения: S_грани = (10 * 5)/2 = 50/2 = 25 см^2.

Так как у нас 3 боковые грани, то площадь боковой поверхности пирамиды будет: S_бок = 3 * S_грани = 3 * 25 = 75 см^2.

Наконец, площадь полной поверхности пирамиды будет равна сумме площади основания и площади боковой поверхности: S_полная = S_основания + S_бок = 25√3 + 75 = 25√3 + 75 см^2.

Получаем окончательный ответ: площадь полной поверхности пирамиды равна 25√3 + 75 см^2.