Question

Докажите, что корень является иррациональным числом

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

рациональные числа - это такие числа, которые можно представить в виде дроби  ± z/n, где  z  - целое число,  n  - натуральное число.

23 - это простое число, оно делится только на себя и на 1. т.е. нет  такого натурального числа, которое будучи возведенным в квадрат дало бы число 23.

√23 можно извлечь лишь с приближением, округлив до определенного знака после запятой. при этом дробь получается непериодическая. То есть нельзя точно и определенно сказать, чему равен корень из этого числа.

√(23) = 4,7958315233127195415974380641627.........

т.о. √(23) не может быть числом рациональным

Answer 2

Для доказательства того, что корень из определенного числа является иррациональным, давайте рассмотрим такой корень, который можно представить в виде обыкновенной дроби. Мы будем доказывать это на примере корня из 2 (√2).

Допустим, корень из 2 (√2) можно представить в виде дроби, то есть:

√2 = a/b,

где a и b - натуральные числа и a/b - несократимая дробь (то есть их наибольший общий делитель равен 1).

Теперь возводим обе стороны уравнения в квадрат:

2 = (a^2) / (b^2).

Из этого уравнения видно, что 2 может быть представлено как отношение квадрата целого числа (a^2) к квадрату другого целого числа (b^2). Известно, что 2 - это целое число, и если √2 был бы рациональным числом (то есть представимым в виде дроби), то (a^2) / (b^2) также было бы целым числом.

Теперь мы приходим к противоречию: если (a^2) / (b^2) является целым числом, то a^2 также должно быть целым числом, что означает, что a тоже целое число. Теперь мы имеем два целых числа a и b, и предполагаем, что их наибольший общий делитель равен 1. Однако, это означает, что a^2/b^2 несократимо, что противоречит тому, что 2=a^2/b^2.

Таким образом, мы пришли к противоречию, исходя из предположения, что √2 можно представить в виде дроби. Следовательно, корень из 2 (√2) является иррациональным числом.

Этот метод доказательства можно применить к любому другому числу, чтобы доказать его иррациональность, если оно не может быть представлено в виде дроби.

Answer 3

Proof that the square root of 2 is an irrational number

To prove that the square root of 2 is an irrational number, we can use a proof by contradiction.

Assume that the square root of 2 is a rational number, which means it can be expressed as a fraction in the form of p/q, where p and q are integers with no common factors other than 1, and q is not equal to 0.

We can square both sides of the equation to get:

(√2)^2 = (p/q)^2

Simplifying the equation, we have:

2 = p^2/q^2

Multiplying both sides of the equation by q^2, we get:

2q^2 = p^2

From this equation, we can see that p^2 must be an even number since it is equal to 2q^2.

Now, let's consider the possible cases for p:

1. If p is even, we can write p as 2k, where k is an integer. Substituting this into the equation, we have:

2q^2 = (2k)^2 Simplifying, we get: 2q^2 = 4k^2 Dividing both sides by 2, we have: q^2 = 2k^2 This implies that q^2 is also even, which means q must also be even. However, this contradicts our initial assumption that p and q have no common factors other than 1. Therefore, p cannot be even.

2. If p is odd, we can write p as 2k + 1, where k is an integer. Substituting this into the equation, we have:

2q^2 = (2k + 1)^2 Simplifying, we get: 2q^2 = 4k^2 + 4k + 1 Dividing both sides by 2, we have: q^2 = 2k^2 + 2k + 1 This implies that q^2 is odd, which means q must also be odd. However, this contradicts our initial assumption that p and q have no common factors other than 1. Therefore, p cannot be odd. Since p cannot be even or odd, we have reached a contradiction. Therefore, our initial assumption that the square root of 2 is a rational number must be false. Hence, the square root of 2 is an irrational number.