Question

При каком значении параметра c сумма кубов корней в уровнении x^2-6x+c=0 равно 162

Answer 1

Ответ:

c=3

Пошаговое объяснение:

$x^2-6x+c=162\\x^3_1+x^3_2=162\\c=?\\\\x^2-6x+c=0\\x_1+x_2=6\\x_1*x_2=c$

(по теореме Виета)

$x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)(x_1^2-x_1x_2+x_2^2)=(x_1+x_2)((x_1^2+2x_1x_2+x_2^2)-3x_1x_2)=\\\\=(x_1+x_2)((x_1+x_2)^2-3x_1x_2)=6(6^2-3c)$

По условию, $x_1^3+x_2^3=162$ , значит можно составить уравнение относительно переменной с:

$6(6^2-3c)=162\\6(36-3c)=162\\36-3c=27\\3c=36-27\\3c=9\\c=9:3\\c=3$

Answer 2

Давайте рассмотрим квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\). В данном случае, у нас есть уравнение \(x^2 - 6x + c = 0\).

Уравнение для суммы корней квадратного уравнения можно записать следующим образом:

\[S = \frac{-b}{a},\]

где \(S\) - это сумма корней, \(a\) - коэффициент при \(x^2\), а \(b\) - коэффициент при \(x\).

В вашем уравнении \(x^2 - 6x + c = 0\) сравниваем с общей формой \(ax^2 + bx + c = 0\), видно, что \(a = 1\) и \(b = -6\). Таким образом, сумма корней \(S = \frac{-(-6)}{1} = 6\).

Теперь у нас есть сумма корней, и мы знаем, что сумма кубов корней равна 162. Пусть \(p\) и \(q\) - корни уравнения. Тогда:

\[p^3 + q^3 = 162.\]

Мы также знаем, что \(p + q = 6\).

Мы можем воспользоваться формулой суммы кубов:

\[p^3 + q^3 = (p + q)(p^2 - pq + q^2).\]

Подставим известные значения:

\[162 = 6(p^2 - pq + q^2).\]

Разделим обе стороны на 6:

\[27 = p^2 - pq + q^2.\]

Теперь мы знаем, что сумма корней равна 6, а сумма кубов корней равна 27. Осталось решить систему уравнений \(p + q = 6\) и \(p^2 - pq + q^2 = 27\), чтобы найти значения корней \(p\) и \(q\).