Question

X⁴+y⁴ + 8 > 8xy. Доказать​

Answer 1

(4•x)+(4•y)+8=

4x+4y+8=16xy

16xy > 8xy

Answer 2

У вас есть неравенство \(x^4 + y^4 > 8xy\), и вы хотите доказать его. Давайте рассмотрим это подробнее.

Перепишем неравенство в следующем виде:

\[x^4 + y^4 - 8xy > 0\]

Теперь давайте попробуем разложить левую сторону на множители. Но сначала заметим, что это выражение симметрично относительно \(x\) и \(y\), поэтому мы можем воспользоваться этим и сказать, что если оно выполнено для пары \((x, y)\), то оно выполнено и для пары \((y, x)\).

Рассмотрим выражение \((x - y)^2\). Раскроем скобки:

\[(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2\]

Теперь давайте умножим это выражение на себя:

\[(x - y)^4 = (x^2 - 2xy + y^2)^2\]

Раскроем скобки:

\[(x - y)^4 = x^4 - 4x^3y + 6x^2y^2 - 4xy^3 + y^4\]

Теперь давайте выразим \(x^4 + y^4\) через \((x - y)^4\):

\[x^4 + y^4 = (x - y)^4 + 4x^3y - 6x^2y^2 + 4xy^3\]

Теперь подставим это обратно в наше исходное неравенство:

\[(x - y)^4 + 4x^3y - 6x^2y^2 + 4xy^3 - 8xy > 0\]

Упростим выражение, вынесем общий множитель за скобку:

\[(x - y)^4 + 4xy(x^2 - 2xy + y^2 - 2) > 0\]

Теперь давайте рассмотрим каждое слагаемое отдельно:

1. \((x - y)^4\) - всегда неотрицательное, так как это квадрат разности. 2. \(4xy\) - также неотрицательное. 3. \((x^2 - 2xy + y^2 - 2)\) - это квадрат разности, который также неотрицателен.

Таким образом, все слагаемые неотрицательны, и их сумма также неотрицательна. Это означает, что начальное неравенство \(x^4 + y^4 > 8xy\) выполняется для всех значений \(x\) и \(y\), и, следовательно, оно доказано.