Question

ДАЮ 80 БАЛЛОВ. В прямую призму, основанием которой является ромб с углом в 60% вписан цилиндр, боковая поверхность которого равна Пи. Найдите объём призмы, если расстояние между осью цилиндра и диагональю боковой грани призмы равно корень из 3

Answer 1

Пошаговое объяснение:

вот такой ответ к этой задаче

Answer 2

Для решения задачи нужно знать формулу для объема прямоугольной призмы:

V = A * h

где V - объем призмы, A - площадь основания, h - высота.

Сначала найдем площадь основания (A).

В условии сказано, что основание - ромб с углом в 60 градусов. Ромб - это параллелограмм, в котором все стороны равны. Угол в 60 градусов означает, что в ромбе у нас равносторонний треугольник (вершинами которого будут вершины ромба).

Для равностороннего треугольника можно легко найти площадь, зная его сторону a:

A_triangle = (a^2 * √3) / 4,

где A_triangle - площадь треугольника, a - длина стороны.

Так как у нас угол в 60 градусов, то стороны треугольника равны между собой, поэтому a - это длина стороны ромба. Чтобы найти длину стороны ромба, разобьем его на два прямоугольных треугольника, в которых угол между диагоналями будет 60 градусов. Такой треугольник можно разделить пополам по одной из его высот, которая будет являться биссектрисой угла 60 градусов.

Для нахождения биссектрисы угла 60 градусов используется формула:

b = 2 * (p * q / (p + q))

где b - длина биссектрисы, p и q - длины отрезков, на которые диагональ разделила стороны ромба.

Так как у нас все стороны ромба равны, то p и q будут равны между собой. Пусть p = q = c, тогда:

b = 2 * (c * c / (c + c)) = 2 * (c^2 / 2c) = c.

Таким образом, биссектриса угла 60 градусов равна длине стороны ромба.

Теперь, чтобы найти площадь основания ромба (A_rhombus), мы можем воспользоваться формулой для площади равностороннего треугольника:

A_rhombus = (c^2 * √3) / 4.

То есть, площадь основания ромба равна площади треугольника, где сторона равна биссектрисе угла 60 градусов.

Теперь найдем объем цилиндра (V_cylinder).

Боковая поверхность цилиндра - это окружность, периметр которой равен Пи. Периметр окружности можно найти по формуле:

P_circle = 2 * Пи * r,

где P_circle - периметр окружности, r - радиус окружности.

Так как у нас есть периметр окружности, то можем найти радиус:

P_circle = 2 * Пи * r, Пи = Пи * r, r = 1.

Таким образом, радиус цилиндра равен 1.

Теперь найдем высоту цилиндра, которая равна расстоянию между осью цилиндра и диагональю боковой грани призмы (h_cylinder):

h_cylinder = sqrt(3).

Теперь можем найти объем призмы (V_prism):

V_prism = A_rhombus * h_prism,

где V_prism - объем призмы, A_rhombus - площадь основания ромба, h_prism - высота призмы.

Так как у нас даны значения для площади основания ромба и высоты цилиндра, то можем подставить их в формулу:

V_prism = ((c^2 * √3) / 4) * sqrt(3).

Так как c - длина стороны ромба, а ромб - это параллелограмм, то можно сказать, что диагональ ромба равна 2c.

В условии сказано, что расстояние между осью цилиндра и диагональю боковой грани призмы равно sqrt(3), что соответствует значению диагонали ромба. То есть,

2c = sqrt(3), c = sqrt(3) / 2.

Подставим найденное значение c в формулу для объема призмы:

V_prism = ((sqrt(3) / 2)^2 * √3) / 4 * sqrt(3) = = (3 / 4 * √3) / 4 * √3 = = 9 / 16.