Question

Показать, что векторы а=(1,1,2), b=(1,0,1),с=(1,2,-1) образуют трехмерный базис и найти координаты вектора d=(4,5,-3) в этом базисе.?

Answer 1

Ответ:

$\vec{d}=-2\vec{a}+4,5\vec{b}+3,5\vec{c}$

Пошаговое объяснение:

Решение в приложении

Answer 2

Для того чтобы показать, что векторы \(a\), \(b\) и \(c\) образуют базис в трехмерном пространстве, необходимо убедиться, что они линейно независимы (то есть ни один из них не представляется линейной комбинацией других) и что они охватывают всё пространство.

Первым шагом проверим линейную независимость векторов \(a\), \(b\) и \(c\). Если векторы линейно независимы, то ни один из них не может быть представлен в виде линейной комбинации других. Пусть:

\[k_1a + k_2b + k_3c = 0,\]

где \(k_1, k_2, k_3\) — некоторые числа, а \(0\) — нулевой вектор. Если единственным способом сделать левую часть равной нулевому вектору является установление всех коэффициентов равными нулю, то векторы линейно независимы.

Составим систему уравнений:

\[k_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} + k_2 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + k_3 \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}.\]

Эта система уравнений приведет нас к системе:

\[\begin{cases} k_1 + k_2 + k_3 = 0 \\ k_1 + 2k_3 = 0 \\ 2k_1 + k_3 = 0 \end{cases}.\]

Решение этой системы будет \(k_1 = 0\), \(k_2 = 1\), \(k_3 = -1\). Таким образом, векторы \(a\), \(b\) и \(c\) линейно независимы.

Теперь убедимся, что они охватывают всё трехмерное пространство. Для этого создадим матрицу, составленную из этих векторов и проверим её ранг:

\[A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & -1 \end{bmatrix}.\]

Ранг этой матрицы равен трём (всего три строки), что подтверждает, что векторы \(a\), \(b\) и \(c\) охватывают всё трехмерное пространство и, следовательно, образуют базис.

Теперь найдем координаты вектора \(d = (4, 5, -3)\) в этом базисе. Пусть \(x\), \(y\) и \(z\) — искомые координаты, тогда:

\[x \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} + y \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + z \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \\ -3 \end{bmatrix}.\]

Это приводит к системе уравнений:

\[\begin{cases} x + y + z = 4 \\ x + 2z = 5 \\ 2x + y - z = -3 \end{cases}.\]

Решив эту систему, мы найдем значения \(x\), \(y\) и \(z\), которые будут координатами вектора \(d\) в базисе \(\{a, b, c\}\).