Question

Решите уравнение в целых числах: 21x² + 2 = y²

Answer 1

Відповідь:

Покрокове пояснення:

х²(21+2/х²)=у² и пусть х≠0

Возмем квадратный корень

|х|×(21+2/х²)^½=|у|

Рассмотрим 21+2/х²

так как х целое, то 21<21+2/х²<=24,

но целого корня из этого числа нет -> у не будет целым при любых целых значений х

Answer 2

Данное уравнение представляет собой диофантово уравнение, так как мы ищем целочисленные значения \(x\) и \(y\). Уравнение имеет вид:

\[21x^2 + 2 = y^2\]

Для решения этого уравнения рассмотрим его по модулю 3. Это связано с тем, что квадраты целых чисел при делении на 3 могут быть только 0 или 1.

Если \(y^2 \equiv 0 \pmod{3}\), то и \(21x^2 + 2 \equiv 0 \pmod{3}\), что означает, что \(21x^2 \equiv 1 \pmod{3}\). Это возможно только в том случае, если \(x^2 \equiv 1 \pmod{3}\). Таким образом, \(x \equiv \pm 1 \pmod{3}\).

Теперь рассмотрим случай \(y^2 \equiv 1 \pmod{3}\). В этом случае \(21x^2 + 2 \equiv 1 \pmod{3}\), что возможно только при \(x^2 \equiv 2 \pmod{3}\). Но тогда \(x\) не имеет целочисленного решения.

Итак, у нас есть два случая для \(x\):

1. \(x \equiv 1 \pmod{3}\) 2. \(x \equiv -1 \pmod{3}\)

Теперь подставим эти значения для \(x\) в исходное уравнение и найдем соответствующие значения для \(y\):

1. При \(x \equiv 1 \pmod{3}\): \[21(1)^2 + 2 = 23 = y^2\] Значит, \(y = \pm 4\), но так как мы ищем целые числа, то \(y = \pm 4\) не подходят.

2. При \(x \equiv -1 \pmod{3}\): \[21(-1)^2 + 2 = 23 = y^2\] Значит, \(y = \pm 4\), но так как мы ищем целые числа, то \(y = \pm 4\) не подходят.

Итак, уравнение \(21x^2 + 2 = y^2\) не имеет целочисленных решений.