Question

Составьте уравнение той касательной к графику функции y=2x^(-1/2)-x^-2-2/5, которая параллельна биссектрисе первой координатной четверти

Answer 1

Ответ: y = x – 0,4

Пошаговое объяснение:

$y=2x^{-1/2}-x^{-2} -2/5\\y'=-\frac{1}{x\sqrt{x} } +\frac{2}{x^{3} }$

чтобы касательная к графику была параллельна биссектрисе первой координатной четверти, производная функции в точке касания должна равняться 1.

$-\frac{1}{x\sqrt{x} } +\frac{2}{x^{3} }=1 | * (-x^{3})\neq 0\\x\sqrt{x}-2+x^{3} =0\\t = \sqrt{x} \\t^{6} + t^{3} -2 = 0\\a = t^{3} \\a^{2} +a-2=0\\a = -2 \\a = 1\\t^{3} = -2 => t = -\sqrt[3]{2} \\t^{3} = 1 => t = 1\\\sqrt{x} = -\sqrt[3]{2} => x \neq R\\\sqrt{x}=1 => x = 1$(x ≠ R значит что х не существует)

абсцисса касания х = 1

а ордината касания у = 0,6

общее уравнение касательной у = ах + b

a = 1 (производная равна 1)

b = –0,4

y = x – 0,4

Answer 2

Для того чтобы найти уравнение касательной к графику функции, которая параллельна биссектрисе первой координатной четверти, мы должны сначала найти угол наклона биссектрисы.

Угол наклона биссектрисы первой координатной четверти равен 45 градусам (или π/4 радиан).

Угол наклона касательной к графику функции будет также равен 45 градусам.

Функция y = 2x^(-1/2) - x^(-2) - 2/5 может быть записана в виде y = 2√x^(-1) - x^(-2) - 2/5.

Для того чтобы найти уравнение касательной к графику этой функции, мы должны найти производную функции и подставить в нее координаты точки, в которой мы хотим построить касательную.

Производная функции y = 2√x^(-1) - x^(-2) - 2/5 равна y' = -x^(-3/2) + 2x^(-2).

Подставим в нее координаты точки, например, (1, 2√1^(-1) - 1^(-2) - 2/5) = (1, 2 - 1 - 2/5) = (1, 8/5).

Теперь мы знаем, что угол наклона касательной равен 45 градусам, производную функции в точке (1, 8/5) и точку, через которую проходит касательная. Используем эту информацию, чтобы построить уравнение касательной.

Уравнение касательной будет иметь вид y - y1 = m(x - x1), где (x1, y1) - координаты точки, в которой проходит касательная, и m - угловой коэффициент касательной.

Подставим значения: (x1, y1) = (1, 8/5), m = -x1^(-3/2) + 2x1^(-2) = -1^(-3/2) + 2 * 1^(-2) = -1 + 2 = 1.

Теперь у нас есть уравнение касательной: y - 8/5 = 1(x - 1), или, раскрывая скобки, y - 8/5 = x - 1.

Итак, уравнение касательной к графику функции y = 2x^(-1/2) - x^(-2) - 2/5, параллельной биссектрисе первой координатной четверти, есть y = x - 3/5.