Question

К графику функции y=ln(x-1) проведена касательная параллельная биссектрисе первой координатной четверти. Найдите площадь треугольника образованного этой касательной и осями координат.

Answer 1

Производная равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции к оси х.
Биссектриса первой координатной четверти делит прямой угол пополам, тангенс её равен 1.Находим производную функции y=ln(x-1), использовав правило:$(lnu)'= \frac{1}{u} *u'$.
$ln(x-1)'= \frac{1}{x-1} *(x-1)'= \frac{1}{x-1}*1= \frac{1}{x-1}.$
Приравниваем производную 1 и находим абсциссу точки касания:
$\frac{1}{x-1}=1$
1 = x - 1
x = 2.
Находим ординату из уравнения функции:
у = ln(2 - 1) = ln 1 = 0.
Уравнение касательной в виде у = ах + в.
Подставляем координаты точки, принадлежащей касательной:
0 = 2 + в
Отсюда в = -2.
Её уравнение у = х - 2.
Точки пересечения касательной осей:
х = 0    у = -2
у = 0    х = 2.
Получаем прямоугольный треугольник с катетами по 2.
Площадь этого треугольника:
$S= \frac{1}{2}*2*2=2.$