Question

У Вики есть 120 карточек с числами от 1 до 120.Она хочет разбить все карточки на пары так, чтобы во всех парах получался один и тот же модуль разности чисел.Сколько существует способов так сделать?

Answer 1

Ответ:

13

Пошаговое объяснение:

столько же, сколько делителей числа - 1(кроме самого числа). Там закольцовка происходит. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 20, 24, 30, 40, 60, 120(не учитываем)

Answer 2

Для того чтобы разбить 120 карточек на пары так, чтобы в каждой паре получался один и тот же модуль разности чисел, нужно рассмотреть, какие модули разности возможны.

Модуль разности двух чисел a и b можно выразить следующим образом:

|a - b|

В данном случае, a и b должны быть числами от 1 до 120. Поскольку модуль разности не зависит от порядка чисел, то различных модулей разности будет в два раза меньше, чем всевозможных пар чисел. Это связано с тем, что |a - b| = |b - a|.

Теперь рассмотрим, сколько различных модулей разности можно получить. В данном случае, это будет количество уникальных чисел, которые можно получить при вычитании одного числа от другого, где оба числа лежат в интервале от 1 до 120.

Для этого создадим таблицу, в которой будем записывать все возможные разности для пар чисел в интервале от 1 до 120:

1  -  1  =  0
1  -  2  =  -1
1  -  3  =  -2
...
1  - 120 = -119

2  -  1  =  1
2  -  2  =  0
2  -  3  =  -1
...
2  - 120 = -118

...
120 - 1  =  119
120 - 2  =  118
120 - 3  =  117
...
120 - 120 = 0

В этой таблице видно, что всего можно получить 240 разных модулей разности (от 0 до 119 включительно).

Теперь, чтобы разбить 120 карточек на пары так, чтобы в каждой паре был один и тот же модуль разности, нужно выбрать один из этих 240 модулей и найти все пары чисел, разность которых равна выбранному модулю. Это можно сделать несколькими способами:

1. Выбрать модуль разности 0 и найти все пары чисел, разность которых равна 0. Здесь у нас есть 1 способ, так как все числа равны друг другу.

2. Выбрать модуль разности 1 и найти все пары чисел, разность которых равна 1. Здесь у нас будет 2 способа, например, (1, 2) и (2, 3).

3. Выбрать модуль разности 2 и найти все пары чисел, разность которых равна 2. Здесь тоже будет 2 способа, например, (1, 3) и (2, 4).

...

240. Выбрать модуль разности 119 и найти все пары чисел, разность которых равна 119. Здесь у нас будет 1 способ, например, (1, 120).

Теперь суммируем количество способов для каждого модуля разности:

1 + 2 + 2 + ... + 1 = 1 + 2*239 + 1 = 480

Итак, существует 480 способов разбить 120 карточек на пары так, чтобы в каждой паре получался один и тот же модуль разности.