Question

Вища математика ) 1. Складіть рівняння прямих ,які проходять через точку М(-7;8) під кутом 45° до прямої 3х-5у+15=0 2. Знайдіть рівняння двох перпендикулярів до прямої 5х-4у-20=0 у точках перетину її з осями координат

Answer 1

1) Надо применить формулу тангенса суммы углов.

Уравнение заданной прямой выразим относительно у.

у = (3/5)x + 5.

Здесь к = (3/5) = tg α.

Тангенс угла 45 градусов равен 1.

tg(α + β) = (tg α + tg β)/(1 - tg α*tg β) = ((3/5) + 1)/(1 - (3/5)*1) = (8/5)/(2/5) = 4.

Получаем уравнение у = 4х + b, подставим координаты точки М.

8 = 4*(-7) + b, отсюда b = 8 + 28 = 36.

Ответ: у = 4х + 36.

2) У перпендикулярной прямой в общем виде Ах + Ву + С = 0 коэффициенты нормального вектора меняются -В и А.

Получаем уравнения 4х + 5у + С = 0.

Теперь находим заданные точки пересечения с осями.

Точка А (пересечение с осью Ох, при этом у = 0) х = 20/5 = 4.

А(4; 0).

Точка В (пересечение с осью Оу, при этом х = 0) у = 20/(-4) = -5.

В(0; -5.

Подставляем координаты точки А: 4*4 + 5*0 + С = 0, С = -16.

Подставляем координаты точки В: 4*0 + 5*(-5) + С = 0, С = 25.

Ответ: (А) 4х + 5у - 16 = 0,

           (В) 4х + 5у + 25 = 0.

Answer 2

1. Рівняння прямих, що проходять через точку M(-7, 8) під кутом 45° до прямої 3x - 5y + 15 = 0:

Знаємо, що тангенс кута нахилу прямої визначається за формулою:

\[ \tan(\alpha) = -\frac{a}{b} \]

де a та b - коефіцієнти при x та y у рівнянні прямої.

В даному випадку, ми маємо пряму 3x - 5y + 15 = 0, тому \(a = 3\) і \(b = -5\).

Також відомо, що тангенс кута 45° рівний 1.

Підставимо відомі значення в формулу:

\[ 1 = -\frac{3}{-5} \]

Розв'яжемо це рівняння відносно одного з коефіцієнтів, наприклад, \(b\):

\[ b = 3/5 \]

Тепер ми можемо записати загальне рівняння прямих, які проходять через точку M(-7, 8) під кутом 45° до прямої 3x - 5y + 15 = 0:

\[ 3x - 5y + k = 0, \]

де \(k\) - константа, яку можна знайти, підставивши координати точки M(-7, 8):

\[ 3(-7) - 5(8) + k = 0 \]

\[ -21 - 40 + k = 0 \]

\[ k = 61 \]

Отже, рівняння прямих:

\[ 3x - 5y + 61 = 0 \]

2. Рівняння двох перпендикулярів до прямої 5x - 4y - 20 = 0 у точках її перетину з осями координат:

Знайдемо точки перетину прямої з осями координат, а для цього підставимо \(x = 0\) і \(y = 0\) у рівняння прямої:

При \(x = 0\): \[ 5(0) - 4y - 20 = 0 \] \[ -4y = 20 \] \[ y = -5 \] Точка перетину з віссю y: \( (0, -5) \)

При \(y = 0\): \[ 5x - 4(0) - 20 = 0 \] \[ 5x = 20 \] \[ x = 4 \] Точка перетину з віссю x: \( (4, 0) \)

Тепер, використовуючи ці точки, можемо знайти рівняння прямих, що проходять через них і перпендикулярні до заданої прямої.

Для перпендикулярності кут нахилу прямої до даної прямої має бути \(m_1 \cdot m_2 = -1\), де \(m_1\) - нахил заданої прямої, а \(m_2\) - нахил шуканої прямої.

Нахил заданої прямої: \(m_1 = \frac{a}{b} = \frac{5}{4}\).

Тепер можемо скласти рівняння перпендикулярних прямих:

\[ y - y_1 = m_2(x - x_1) \]

Для першої точки \( (0, -5) \): \[ y - (-5) = \frac{-4}{5}(x - 0) \] \[ y + 5 = -\frac{4}{5}x \]

Для другої точки \( (4, 0) \): \[ y - 0 = \frac{-4}{5}(x - 4) \] \[ y = \frac{-4}{5}x + \frac{16}{5} \]

Отже, рівняння двох перпендикулярів до прямої \(5x - 4y - 20 = 0\) у точках її перетину з осями координат:

\[ y + 5 = -\frac{4}{5}x \] \[ y = \frac{-4}{5}x + \frac{16}{5} \]