Question

Теория вероятностей. задача про стрелков Вероятность попадания стрелка в мишень при одном выстреле равна 11/13.Производится 12 выстрелов. Найти вероятность того, что он промахнется не более двух раз.

Answer 1

q = 11/13 - вероятность попадания в мишень при одном выстреле

Вероятность промаха p = 1 - q = 1 - 11/13 = 2/13

Случайная величина X - количество промахов

$P\Big\{X\leq 2\Big\}=P\Big\{X=0\Big\}+P\Big\{X=1\Big\}+P\Big\{X=2\Big\}=q^{12}+C^1_{12}pq^{11}+$

$C^2_{12}p^2q^{10}=\left(\dfrac{11}{13}\right)^{12}+12\cdot \dfrac{2}{13}\cdot\left(\dfrac{11}{13}\right)^{11}+66\cdot \left(\dfrac{2}{13}\right)^2\cdot\left(\dfrac{11}{13}\right)^{10}=$

$\left(\dfrac{11}{13}\right)^{10}\cdot \left(\dfrac{121}{169}+\dfrac{264}{169}+\dfrac{264}{169}\right)=\left(\dfrac{11}{13}\right)^{10}\cdot\dfrac{649}{169}\approx0\mbox{,}72$

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать биномиальное распределение, так как у нас есть серия независимых испытаний (выстрелов), и каждый из них может закончиться успехом (попаданием) или неудачей (промахом). Вероятность успеха (попадания) обозначена как \( p \), а вероятность неудачи (промаха) обозначена как \( q \), где \( q = 1 - p \).

В данном случае \( p = \frac{11}{13} \), так как это вероятность попадания.

Формула для вероятности биномиального распределения:

\[ P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{(n-k)} \]

где: - \( P(X = k) \) - вероятность того, что произойдет \( k \) успехов в серии из \( n \) испытаний, - \( C_n^k \) - биномиальный коэффициент (число сочетаний из \( n \) по \( k \)), - \( p \) - вероятность успеха (попадания) в одном испытании, - \( q \) - вероятность неудачи (промаха) в одном испытании, - \( n \) - общее количество испытаний.

В данном случае \( n = 12 \), \( p = \frac{11}{13} \), \( q = 1 - p \).

Теперь мы хотим найти вероятность того, что стрелок промахнется не более двух раз. Это означает, что \( k \) (количество промахов) может быть 0, 1 или 2.

\[ P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) \]

\[ P(X \leq 2) = C_{12}^0 \cdot \left(\frac{11}{13}\right)^0 \cdot \left(\frac{2}{13}\right)^{12} + C_{12}^1 \cdot \left(\frac{11}{13}\right)^1 \cdot \left(\frac{2}{13}\right)^{11} + C_{12}^2 \cdot \left(\frac{11}{13}\right)^2 \cdot \left(\frac{2}{13}\right)^{10} \]

Вычислим значения биномиальных коэффициентов и подставим известные значения:

\[ P(X \leq 2) = \binom{12}{0} \cdot \left(\frac{11}{13}\right)^0 \cdot \left(\frac{2}{13}\right)^{12} + \binom{12}{1} \cdot \left(\frac{11}{13}\right)^1 \cdot \left(\frac{2}{13}\right)^{11} + \binom{12}{2} \cdot \left(\frac{11}{13}\right)^2 \cdot \left(\frac{2}{13}\right)^{10} \]

После вычислений получим окончательный ответ на задачу.