Question

в ряд записала числа 74^74, 75^75, 76^76, ..., 243^243, то есть выписали числа вида n^n для натуральный n от 74 до 243. Сколько среди выписанных чисел точных квадратов?

Answer 1

Ответ:

Либо 6 либо 18

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Чтобы определить, сколько среди выписанных чисел \(74^{74}, 75^{75}, 76^{76}, \ldots, 243^{243}\) есть точные квадраты, давайте рассмотрим общую форму \(n^n\) и попробуем найти условия, при которых это число будет точным квадратом.

Обозначим \(n^n\) как \(m^2\), где \(m\) - целое число. Тогда у нас есть:

\[ n^n = m^2 \]

Теперь рассмотрим \(n\):

\[ n^n = m^2 \]

\[ n = m^{2/n} \]

Таким образом, чтобы число \(n\) было точным квадратом, \(2/n\) должно быть целым числом. Это означает, что \(n\) должно делить 2 без остатка.

Теперь давайте рассмотрим диапазон значений \(n\) от 74 до 243 и найдем, сколько чисел соответствуют этому условию.

\[ 74, 75, 76, \ldots, 243 \]

Мы ищем количество чисел, которые делят 2 без остатка в этом диапазоне. Это происходит каждые два числа. Поскольку у нас есть 170 чисел в этом диапазоне, мы можем разделить 170 на 2:

\[ \frac{170}{2} = 85 \]

Таким образом, среди выписанных чисел \(74^{74}, 75^{75}, 76^{76}, \ldots, 243^{243}\) ровно 85 чисел являются точными квадратами.