Question

В ряд записали числа 56^56, 57^57, 58^58, …, 218^218, то есть выписали числа вида nn для натуральных n от 56 до 218. Сколько среди выписанных чисел точных квадратов? Точным квадратом называют квадрат целого числа.​

Answer 1

Ответ:

8

Пошаговое объяснение:

64, 81, 100, 121, 144, 169, 196 - квадраты целых чисел от 8 до 14 в диапазоне от 64 до 218

125, 216 - кубы 5 и 6, но 125 в 125 степени квадратом не будет, а 216 (6 в 648 степени) будет

В итоге получается 8 случаев

Answer 2

Давайте разберемся. Вы выписали числа вида \(n^n\) для натуральных \(n\) от 56 до 218 и хотите узнать, сколько среди них точных квадратов. Точным квадратом называется квадрат целого числа.

Первым шагом определим, какие значения \(n\) соответствуют точным квадратам. Точные квадраты могут получаться только тогда, когда \(n\) — четное число, потому что в таком случае \(n^n\) всегда будет квадратом целого числа.

Теперь посмотрим на диапазон от 56 до 218. Четные числа в этом диапазоне начинаются с 56 и заканчиваются 218, и их количество можно найти как \(\frac{{218 - 56}}{2} + 1\), так как разница между 56 и 218 равна 162, и если мы поделим это на 2, то получим количество четных чисел, но нужно прибавить 1, чтобы учесть само число 218.

\[\frac{{218 - 56}}{2} + 1 = 82\]

Таким образом, у нас есть 82 четных числа в этом диапазоне. Теперь посмотрим, сколько из них являются точными квадратами.

Чтобы \(n\) было точным квадратом, необходимо, чтобы \(n = k^2\) для некоторого целого числа \(k\). Таким образом, нам нужно найти количество полных квадратов в пределах от 56 до 218.

Находим наименьший целочисленный квадрат, больший или равный 56: \(\lceil \sqrt{56} \rceil = 8\).

Находим наибольший целочисленный квадрат, меньший или равный 218: \(\lfloor \sqrt{218} \rfloor = 14\).

Таким образом, у нас есть 7 полных квадратов (8, 9, 10, 11, 12, 13, 14) в этом диапазоне.

Теперь мы знаем, что из 82 четных чисел от 56 до 218, только 7 из них являются точными квадратами.