Question

Найдите остаток при делении на 10 значение выражения: 5²⁰²⁰+6²⁰²¹+7²⁰²²

Answer 1

5 в любой натуральной степени оканчивается на 5.

6 в любой натуральной степени оканчивается на 6.

7 в натуральной степени оканчивается на 7, 9, 3, 1; в данном случае на 9, т.к. 2022=4*505+2.

Таким образом 5²⁰²⁰+6²⁰²¹+7²⁰²² оканчивается на 0 (т.к. 5+6+9=20 - оканчивается на 0), а значит оно делится на 10 и остаток при делении на 10 данного выражения равен 0.

Answer 2

Для нахождения остатка при делении значения выражения \(5^{2020} + 6^{2021} + 7^{2022}\) на 10, можно воспользоваться свойствами остатков.

Одно из таких свойств гласит, что остаток от суммы двух чисел равен сумме остатков от этих чисел по модулю. Также известно, что \(a^n \mod m\) (остаток от деления \(a^n\) на \(m\)) можно вычислить как \( (a \mod m)^n \mod m\).

Применим это к каждому слагаемому:

1. \(5^{2020} \mod 10\): \[ (5 \mod 10)^{2020} \mod 10 = 5^{2020} \mod 10 = 5^4 \mod 10 \] \(5^4 = 625\), поэтому \(5^{2020} \mod 10 = 5\).

2. \(6^{2021} \mod 10\): \[ (6 \mod 10)^{2021} \mod 10 = 6^{2021} \mod 10 = 6 \cdot (6^4)^{505} \mod 10 \] Здесь \(6^4 = 1296\), поэтому \(6^{2021} \mod 10 = 6 \cdot (1296)^{505} \mod 10\). Остаток от деления \(1296\) на \(10\) равен \(6\), поэтому это упрощается до \(6 \cdot 6^{505} \mod 10\). Так как \(6^2 = 36\), то \(6^{505} = (6^2)^{252} \cdot 6 \mod 10\). Остаток от деления \(36\) на \(10\) равен \(6\), поэтому это упрощается до \(6 \cdot 6 \mod 10 = 6\).

3. \(7^{2022} \mod 10\): \[ (7 \mod 10)^{2022} \mod 10 = 7^{2022} \mod 10 = 7^2 \mod 10 \] \(7^2 = 49\), поэтому \(7^{2022} \mod 10 = 9\).

Теперь сложим полученные остатки: \[ 5 + 6 + 9 = 20 \]

Таким образом, остаток при делении \(5^{2020} + 6^{2021} + 7^{2022}\) на 10 равен 0.