Question

Дан ромб АВСД. Наменьшей диагонали ВД взята произвольная точка К. На сторонах АВ и АД взяты точки М и Н такие что ВК=МК, КН= КД, МД и ВН пересекаются в L. Докажите, что С, К, Lна одной прямой.​

Answer 1

Ответ:

АВСД+ВД+АВ-АД=ВК=МК=С.К.L.

Answer 2

Для доказательства, что точки C, K и L лежат на одной прямой, давайте воспользуемся свойствами ромба и свойствами треугольников.

Обозначим длину стороны ромба AB = BC = CD = DA как "а". Также обозначим точку пересечения диагоналей MD и VN как точку L.

1. Свойства ромба: - Диагонали ромба делятся пополам. \[ VM = ND, \] \[ VL = NL. \]

2. Свойства треугольников: - В треугольнике VKM: \[ VK = KM \] (по условию). - В треугольнике VKN: \[ VN = NK \] (по условию).

3. Следствия: - Из свойства 1 следует, что \[ VM = ND = \frac{a}{2}. \] - Из свойства 2 следует, что \[ VK = KM, \] \[ VN = NK. \]

4. Свойства пересекающихся прямых: - Если точка L лежит на диагоналях MD и VN, то \[ VL = NL. \]

Теперь рассмотрим треугольник VDK и применим теорему о трех равенствах:

- Из свойства 3 следует, что \( VK = KM \). - Из свойства 3 следует, что \( VN = NK \). - Из свойства 4 следует, что \( VL = NL \).

Следовательно, треугольник VDK равнобедренный, и мы можем заключить, что угол \( \angle VDK \) равен углу \( \angle VKD \).

Теперь рассмотрим треугольник VDL и применим теорему о трех равенствах:

- Из свойства 1 следует, что \( VL = NL \). - Из свойства 2 следует, что \( \angle VDL = \angle NDL \).

Таким образом, углы \( \angle VKD \) и \( \angle NDL \) равны.

Теперь рассмотрим треугольник VKL и DKL:

- Углы \( \angle VKD \) и \( \angle NDL \) равны (по предыдущему шагу). - Углы \( \angle VDK \) и \( \angle DLK \) равны (так как они смежные углы). - Углы \( \angle VKL \) и \( \angle DKL \) равны, так как сумма углов треугольника равна 180 градусам.

Следовательно, треугольники VKL и DKL равны по стороне-уголу-стороне.

Таким образом, отрезок KL совпадает с отрезком KD. Так как точка K лежит на стороне AD, то и точка L лежит на этой же прямой. Таким образом, точки C, K и L лежат на одной прямой.