Question

Розв'яжіть нерівність: (2x+1)(x-3)(x^2+4)<0

Answer 1

Ответ на фотографии.

Answer 2

Звісно, давай розв'яжемо цю нерівність крок за кроком. Щоб зрозуміти, коли вираз \( (2x+1)(x-3)(x^2+4) \) менше нуля, ми можемо використати метод інтервалів.

1. Знайдемо корені нерівності: Щоб знайти точки, де вираз \( (2x+1)(x-3)(x^2+4) \) дорівнює нулю, встановимо кожний добуток, окремо дорівнює нулю: - \(2x + 1 = 0\) дає \(x = -\frac{1}{2}\). - \(x - 3 = 0\) дає \(x = 3\). - \(x^2 + 4 = 0\) не має розв'язків у множині дійсних чисел (оскільки \(x^2\) завжди не менше 0 для будь-якого \(x\), а \(4 > 0\)).

2. Створимо інтервали на числовій прямій: Позначимо ці точки на числовій прямій: \(x = -\frac{1}{2}\) та \(x = 3\). Ці точки розбивають числову пряму на три інтервали: \(-\infty < x < -\frac{1}{2}\), \(-\frac{1}{2} < x < 3\), \(x > 3\).

3. Перевіримо знак виразу на кожному інтервалі: Вираз \( (2x+1)(x-3)(x^2+4) \) може змінювати знак на кожному інтервалі між точками.

- Для \(x < -\frac{1}{2}\): Візьмемо, наприклад, \(x = -1\) і підставимо у вираз: \( (2(-1)+1)(-1-3)((-1)^2+4) = (-1)(-4)(5) = 20 > 0\). Отже, на цьому інтервалі вираз дорівнює позитивному числу.

- Для \(-\frac{1}{2} < x < 3\): Як приклад, візьмемо \(x = 0\): \( (2(0)+1)(0-3)((0)^2+4) = (1)(-3)(4) = -12 < 0\). Таким чином, на цьому інтервалі вираз менше нуля.

- Для \(x > 3\): Візьмемо, скажімо, \(x = 4\): \( (2(4)+1)(4-3)((4)^2+4) = (9)(1)(20) = 180 > 0\). Таким чином, на цьому інтервалі вираз дорівнює позитивному числу.

4. Висновок: Таким чином, ми маємо, що вираз \( (2x+1)(x-3)(x^2+4) \) менше нуля на інтервалі \(-\frac{1}{2} < x < 3\).

Отже, розв'язок нерівності \( (2x+1)(x-3)(x^2+4) < 0 \) - це \( -\frac{1}{2} < x < 3 \).