Question

Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду; определить тип кривой; найти параметры, точки и прямые, характеризующие данную кривую; построить чертеж. x^2+4x + 6y -8 = 0 . РЕШИТЕ ПОЖАЛУЙСТА С ГРАФИКОМ.

Answer 1

Ответ:

$x^2+4x+6y-8=0\\\\(x^2+4x+4)-4=-6y+8\\\\(x+2)^2=-6y+8+4\\\\(x+2)^2=-6y+12\\\\(x+2)^2=-6\, (y-2)\ \ \ parabola\\\\vershina:\ V(-2;2)\ \ ,\ \ 2p=-6\ \ ,\ \ p=-3\ \ ,\ \ \dfrac{p}{2}=-\dfrac{3}{2}=-1,5\\\\\ \ fokys:\ F(\, -2\ ;\ 2-1,5\ )\ \ ,\ \ F(\, -2\ ;\ 0,5\ )\\\\directrisa:\ y=2+1,5\ \ ,\ \ y=3,5$

Answer 2

Для приведения уравнения кривой второго порядка к каноническому виду и дальнейшего анализа, давайте рассмотрим уравнение \(x^2 + 4x + 6y - 8 = 0\).

1. Приведение к каноническому виду: Начнем с выделения полного квадрата для переменных \(x\): \[ x^2 + 4x + 6y - 8 = 0 \] \[ x^2 + 4x + 4 + 6y - 8 = 4 \] \[ (x + 2)^2 + 6y - 4 = 0 \] \[ (x + 2)^2 = -6y + 4 \] \[ \frac{(x + 2)^2}{4} = -\frac{6}{4}y + 1 \] \[ \frac{(x + 2)^2}{4} = -\frac{3}{2}y + 1 \]

Теперь уравнение находится в канонической форме: \[ \frac{(x + 2)^2}{4} = -\frac{3}{2}y + 1 \]

2. Определение типа кривой:

Уравнение представляет параболу, так как переменные возводятся во вторую степень и присутствует одно слагаемое.

3. Нахождение параметров, точек и прямых:

- Параметры: - Фокусное расстояние \(p = \frac{1}{-2a} = \frac{1}{-2 \cdot \frac{1}{4}} = 2\).

- Точки: - Вершина параболы \((-2, 1)\) (из канонического вида). - Фокусная точка \((-2, 2)\). - Упирается в ось y в точке \((0, \frac{1}{6})\).

- Прямые: - Директриса \(y = \frac{1}{2}\). - Ось симметрии \(x = -2\).

4. Построение чертежа:


На графике изображена парабола, вершина, фокус, директриса и ось симметрии.

Таким образом, мы привели уравнение кривой второго порядка к каноническому виду, определили тип кривой, найдем её параметры, точки и прямые, и построили график.