Question

Вычислить производную сложной функции, используя правила дифференцирования сложных функций. y=ln корень из cos2x

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

$y(x)=ln(\sqrt{cos(2x)} )$

Чтобы найти производную сложной функции, нужно производную от внешней функции умножить на производную от внутренней, и так до самой внутренней.

$y(f(g(z(x)))) = y'(f)*f'(g)*g'(z)*z'(x)$

В нашем случае:

$y(f) = ln(f); f(g)=\sqrt{g}; g(z)=cos(z); z(x)=2x$

Находим производные и получаем:

$y'(x)=\frac{1}{\sqrt{cos(2x)} } *\frac{1}{2\sqrt{cos(2x)} }*(-sin(2x))*2=-\frac{2sin(2x)}{2cos(2x)}=-tg(2x)$

Answer 2

Давайте найдем производную функции \(y = \ln(\sqrt{\cos(2x)})\) с использованием правил дифференцирования сложных функций.

1. Начнем с внешней функции, которая является логарифмом \(\ln(u)\). Производная логарифма \(\ln(u)\) равна \(\frac{1}{u} \cdot u'\), где \(u\) - это аргумент логарифма, а \(u'\) - его производная по переменной.

2. Теперь рассмотрим внутреннюю функцию \(u = \sqrt{\cos(2x)}\). Найдем производную этой функции.

- Производная корня из \(\cos(2x)\): \(\frac{1}{2\sqrt{\cos(2x)}}\). - Производная \(\cos(2x)\): \(-2\sin(2x)\).

3. Теперь умножим производную внешней функции на производную внутренней функции:

\[ \frac{1}{\sqrt{\cos(2x)}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{\cos(2x)}} \cdot (-2\sin(2x)) \]

4. Упростим выражение:

\[ -\frac{\sin(2x)}{\sqrt{\cos(2x)}} \]

Таким образом, производная функции \(y = \ln(\sqrt{\cos(2x)})\) равна \(-\frac{\sin(2x)}{\sqrt{\cos(2x)}}\).