Question

Integrate-Sinxcosx(cos^2x-sin^2x)

Answer 1

Ответ:

$= \frac{1}{16} \times cos4x + c$

Пошаговое объяснение:

решение во вложении, если синусом нет знака минус, то ответ с минусом

Answer 2

Чтобы решить данное выражение, давайте разберемся с интегралом:

\[ \int \sin(x) \cos(x) (\cos^2(x) - \sin^2(x)) \, dx \]

Мы можем воспользоваться формулой двойного угла для синуса и косинуса:

\[ \cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) \]

Теперь подставим это значение в исходное выражение:

\[ \int \sin(x) \cos(x) \cos(2x) \, dx \]

Теперь проведем замену переменной. Пусть \( u = \sin(x) \), тогда \( du = \cos(x) \, dx \). Теперь интеграл принимает вид:

\[ \int u \cos(2x) \, du \]

Мы можем разложить \(\cos(2x)\) по формуле:

\[ \cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1 \]

Теперь подставим это в интеграл:

\[ \int u (2\cos^2(x) - 1) \, du \]

Раскроем скобки и проинтегрируем каждое слагаемое по отдельности:

\[ 2\int u \cos^2(x) \, du - \int u \, du \]

Интеграл \(\int u \, du\) равен \(\frac{1}{2}u^2\), а интеграл \(\int \cos^2(x) \, dx\) может быть выражен через элементарные функции:

\[ \int \cos^2(x) \, dx = \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin(2x) \]

Теперь подставим все обратно:

\[ 2\left(\frac{1}{2}u^2\right) - \frac{1}{2}u^2 + C \]

где \( C \) - константа интегрирования. Теперь вернемся к исходной переменной \( x \), заменяя \( u = \sin(x) \):

\[ u = \sin(x) \]

\[ \frac{1}{2}\sin^2(x) - \frac{1}{2}\sin^2(x) + C \]

\[ \frac{1}{2}\sin^2(x) + C \]

Таким образом, окончательный ответ:

\[ \frac{1}{2}\sin^2(x) + C \]

где \( C \) - константа интегрирования.