Question

Математика, помогите,пожалуйста! Выяснить, какие множества элементов образуют линейное пространство: Выберите один или несколько ответов: 1)множество всех ненулевых матриц 2)множество четных чисел 3)множество натуральных чисел 4)множество всех решений системы n линейных однородных уравнений с n переменными

Answer 1

Будем предполагать по умолчанию, что операции сложения и умножения на число (на элемент  поля) естественные, а поле - поле действительных чисел. Ненулевые матрицы не образуют линейное пространство хотя бы по причине того, что матрицы разных размеров мы не умеем складывать.  А если ограничить себя матрицами одного порядка, в дело вступает отсутствие нулевой матрицы, откуда операция умножения на ноль выводит за пределы рассматриваемого множества.

Во втором примере умножение на действительные числа может выводить за пределы множества. Например, 2 как элемент множества, умноженная на 1/2, выводит за пределы множества.

Во третьем примере снова можно сослаться на невозможность умножения на ноль.

В четвертом примере линейное пространство получается, поскольку этот множество является линейным подпространством линейного пространства $R^n$ всевозможных наборов n действительных чисел - ведь если $X_1$  и $X_2$ - это решения такой системы, то есть $AX_1=0;\ AX_2=0,$  то и их произвольная линейная комбинация является решением, поскольку

$A(C_1X_1+C_2X_2)=C_1AX_1+C_2AX_2=0.$ А кроме того множество решений непусто, так как нулевое решение у однородной системы есть всегда.  

Answer 2

Линейное пространство и его свойства

Линейное пространство - это математическая структура, состоящая из множества элементов, над которым определены операции сложения и умножения на скаляр. Линейные пространства являются основным объектом изучения в линейной алгебре.

Свойства линейного пространства: 1. Замкнутость относительно сложения: для любых двух элементов пространства их сумма также является элементом пространства. 2. Ассоциативность сложения: сложение элементов пространства ассоциативно. 3. Существование нулевого элемента: в линейном пространстве существует такой элемент, что его сложение с любым другим элементом дает тот же элемент. 4. Существование противоположного элемента: для каждого элемента пространства существует такой элемент, что их сумма равна нулевому элементу. 5. Замкнутость относительно умножения на скаляр: умножение элемента пространства на скаляр также дает элемент пространства. 6. Дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения: умножение суммы элементов пространства на скаляр равно сумме умножений элементов на скаляр. 7. Дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения скаляров: умножение элемента пространства на сумму скаляров равно сумме умножений элемента на каждый скаляр по отдельности.

Анализ множеств

Теперь проанализируем предложенные множества и определим, являются ли они линейными пространствами:

1) Множество всех ненулевых матриц: данное множество не является линейным пространством, так как оно не обладает свойствами нулевого элемента и противоположного элемента.

2) Множество четных чисел: данное множество не является линейным пространством, так как оно не обладает свойством замкнутости относительно сложения.

3) Множество натуральных чисел: данное множество не является линейным пространством, так как оно не обладает свойством замкнутости относительно сложения.

4) Множество всех решений системы n линейных однородных уравнений с n переменными: данное множество является линейным пространством, так как оно обладает всеми свойствами линейного пространства.

Итог: Таким образом, единственным множеством, элементы которого образуют линейное пространство, является множество всех решений системы n линейных однородных уравнений с n переменными (ответ 4).