Question

На какой наименьший точный квадрат (квадрат натурального числа) не делится число 50! (n!=1⋅2⋅3⋅...⋅n)?

Answer 1

Ответ:

квадрат числа 29

Пошаговое объяснение:

N=50!=1*2*3*4*...*47*48*49*50.

Квадраты натуральных чисел:

2(2²=4), 3(3²=9), 4, 5, 6, 7 - на квадраты этих чисел наше число N делится очевидно. Просто квадраты этих чисел явно содержатся в нашем произведении.

Далее: число 8: 8²=64. Числа 64 в произведении нет, но зато есть числа 2*...4*...8=64. Число 9: 9²=...*(6=3*2)*...9*...(12=3*4). Число   20: 20²=20*20=...2*...10*...20.

23²=23*23=23*...(46=23*2) -23 просое число, но и это не страшно (пока)

25²=25*25=25*...(50=25*2)

29²=29*29=29*... ??? - 29 число простое, и вот ему "пару" мы уже не найдем, т.к. 29*2>50

А дальше все нормально, только если не встретятся простые числа.

38: 38²=38*38=2*...19*...38.

50: 50²=50*50=2*...25*...50.

Answer 2

Для решения этой задачи нам нужно разложить число \(50!\) на простые множители и определить, какие из них являются квадратами натуральных чисел. Если число \(50!\) делится на квадрат какого-то натурального числа, то оно делится и на само это число.

Разложим \(50!\) на простые множители:

\[50! = 2^{47} \cdot 3^{22} \cdot 5^{10} \cdot 7^8 \cdot 11^4 \cdot 13^3 \cdot 17^2 \cdot 19^2 \cdot 23 \cdot 29 \cdot 31 \cdot 37 \cdot 41 \cdot 43 \cdot 47.\]

Теперь посмотрим на степени простых чисел в этом разложении. Для того чтобы число \(50!\) не делилось на квадрат натурального числа, степени простых чисел в разложении должны быть нечетными. Так как квадрат натурального числа имеет четную степень, чтобы избежать деления на квадрат, мы должны выбрать минимальные степени простых чисел, сделав их нечетными.

Таким образом, для наименьшего точного квадрата, на который не делится \(50!\), нужно взять минимальные нечетные степени простых чисел из разложения:

\[2^1 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \cdot 7^1 \cdot 11^1 \cdot 13^1 \cdot 17^1 \cdot 19^1 \cdot 23 \cdot 29 \cdot 31 \cdot 37 \cdot 41 \cdot 43 \cdot 47.\]

Теперь у нас есть наименьший точный квадрат, на который не делится \(50!\).