Question

Найти общее или частичное решение диф. уравнения

Answer 1

$y\cdot y''=\left(y'\right)^2$

Произведём замену $y'=z(y)$. Производную по $y$ будем обозначать через точку.

Так, $y''=\big(z(y)\big)'=\dot{z}\cdot y'=\dot{z}\cdot z$.

Итого,

$y\cdot \dot{z} z=z^2\iff z\cdot(\dot{z} y - z)=0$

1) Разбираемся с первым множителем

$z=0\iff y'=0\iff y=C$

2) Со вторым

$\dot{z} y-z = 0\,,\\[2ex]\dfrac{\mathrm{d} z}{z}=\dfrac{\mathrm{d}y}{y}\,,\\[2ex] z=Cy\,,\\[2ex] y'=Cy\,,\\[2ex]\dfrac{\mathrm{d}y}{y}=C\,\mathrm{d}x\,,\\[2ex] y=Be^{Cx}$

3) Видно, что первое множество решений $y=C$ содержится во множестве $y=Be^{Cx}$ (константы, естественно, не обязательно равны, просто одинаково обозначили). Значит, общим решением исходного уравнения будет являться последний вариант.

Ответ. $y(x)=Be^{Cx}\,,\quad\left\{B,\,C\right\}\subset\mathbb{R}$

Answer 2

Конечно, я готов помочь в решении дифференциального уравнения. Однако для того чтобы предоставить более точный ответ, мне нужна конкретная форма уравнения, которую вы хотите решить. Дифференциальные уравнения могут быть линейными или нелинейными, обыкновенными или частными, и их решение зависит от многих факторов.

Если у вас уже есть конкретное дифференциальное уравнение, пожалуйста, предоставьте его. В противном случае я могу предоставить вам общий подход к решению обыкновенных дифференциальных уравнений.

Общий подход к решению обыкновенных дифференциальных уравнений:

1. Определение типа уравнения: - Линейные или нелинейные. - Порядок уравнения (порядок высшей производной, которая входит в уравнение). - Однородные или неоднородные.

2. Решение однородного уравнения: - Если уравнение однородное, вы можете использовать метод разделения переменных, метод интегрирующего множителя, метод вариации постоянной и т.д.

3. Добавление частного решения для неоднородных уравнений: - Если уравнение неоднородное, после решения однородной части, добавляется частное решение, учитывающее неоднородность.

4. Задача Коши и постоянные интегрирования: - Если у вас есть начальные условия (значения функции или ее производных в какой-то точке), используйте их для нахождения постоянных интегрирования.

Примеры и методы могут различаться в зависимости от конкретного уравнения. Если у вас есть конкретное уравнение, пожалуйста, предоставьте его для более детального ответа.