Question

Помогите решить систему уравнений с помолщью обратной матрицы 3x + 2y +z = - 8 -2x +3y +z = - 3 2x +y +3z = - 1

Answer 1

Выражаем х через две другие переменные

х=-3-2y+3z :  

подставляем во второе и третье уравнения системы

x=-3-2y+3z

2*(-3-2y+3z)-3y+z=8

3+2y-3z+y-5z+-8

x=-3-2y+3z

-6-4y+6z-3y+z=8

3+2y-3z+y-5z=-8

x=-3-2y+3z

-7y+7z=14

3y-8z=-11

из второго уравнения выразим y:

-7y=14-7z

y=z-2

подставляем в 3 уравнение:

3*(z-2)-8z=-11

3z-6-8z=-11

-5z=-5

z=1

находим y: y=z-2=1-2=-1

далее x=-3-2y+3z = -3-2*(-1)+3*1=2

Ответ: х=2; y=-1; z=1.

Answer 2

Для решения системы уравнений \(3x + 2y + z = -8\), \(-2x + 3y + z = -3\), \(2x + y + 3z = -1\), мы можем воспользоваться методом обратной матрицы. Сначала представим систему уравнений в виде матрицы:

\[ \begin{bmatrix} 3 & 2 & 1 \\ -2 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -8 \\ -3 \\ -1 \\ \end{bmatrix} \]

Обозначим матрицу коэффициентов как \(A\), вектор переменных как \(X\), а вектор правой части как \(B\). Тогда система принимает вид \(AX = B\).

Теперь найдем обратную матрицу \(A^{-1}\). Если она существует, то решение системы можно найти как \(X = A^{-1}B\).

Давайте найдем обратную матрицу \(A^{-1}\). Для этого воспользуемся формулой:

\[ A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \cdot \text{adj}(A) \]

где \(\text{det}(A)\) - определитель матрицы \(A\), \(\text{adj}(A)\) - матрица алгебраических дополнений.

1. Найдем определитель матрицы \(A\):

\[ \text{det}(A) = 3(3 \cdot 3 - 1 \cdot 1) - 2(-2 \cdot 3 - 1 \cdot 2) + 1(-2 \cdot 1 - 2 \cdot 2) \] \[ = 3(9 - 1) - 2(-6 - 2) + 1(-2 - 4) \] \[ = 3 \cdot 8 + 2 \cdot 8 - 6 \] \[ = 24 + 16 - 6 \] \[ = 34 \]

2. Теперь найдем матрицу алгебраических дополнений:

\[ \text{adj}(A) = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \\ \end{bmatrix} \]

где \(A_{ij}\) - алгебраическое дополнение элемента \(A_{ij}\). Алгебраическое дополнение определяется как \((-1)^{i+j} \cdot M_{ij}\), где \(M_{ij}\) - минор, то есть определитель матрицы, полученной из \(A\) вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.

\[ A_{11} = (-1)^{1+1} \cdot \text{det}\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} = 1 \cdot (3 \cdot 3 - 1 \cdot 1) = 8 \] \[ A_{12} = (-1)^{1+2} \cdot \text{det}\begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} = -1 \cdot (-2 \cdot 3 - 1 \cdot 2) = 4 \] \[ A_{13} = (-1)^{1+3} \cdot \text{det}\begin{bmatrix} -2 & 3 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} = 1 \cdot (-2 \cdot 1 - 3 \cdot 2) = -8 \] \[ A_{21} = (-1)^{2+1} \cdot \text{det}\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} = -1 \cdot (2 \cdot 3 - 1 \cdot 1) = -5 \] \[ A_{22} = (-1)^{2+2} \cdot \text{det}\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} = 1 \cdot (3 \cdot 3 - 1 \cdot 2) = 7 \] \[ A_{23} = (-1)^{2+3} \cdot \text{det}\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} = -1 \cdot (3 \cdot 1 - 2 \cdot 2) = 1 \] \[ A_{31} = (-1)^{3+1} \cdot \text{det}\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -2 & 3 \end{bmatrix} = 1 \cdot (2 \cdot 3 - 1 \cdot -2) = 8 \] \[ A_{32} = (-1)^{3+2} \cdot \text{det}\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} = -1 \cdot (3 \cdot 3 - 1 \cdot 2) = -7 \] \[ A_{33} = (-1)^{3+3} \cdot \text{det}\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} = 1 \cdot (3 \cdot 1 - 2 \cdot 2) = -1 \]

3. Теперь составим транспонированную матрицу алгебраических дополнений:

\[ \text{adj}(A)^T = \begin{bmatrix} 8 & -5 & 8 \\ 4 & 7 & -7 \\ -8 & 1 & -1 \\ \end{bmatrix} \]

4. Найдем обратную матрицу:

\[ A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \cdot \text{adj}(A)^T \] \[ A^{-1} = \frac{1}{34} \cdot \begin{bmatrix} 8 & -5 & 8 \\ 4 & 7 & -7 \\ -8 & 1 & -1 \\ \end{bmatrix} \]

Теперь умножим обратную