Question

Вася верно подсчитал количество способов (N) поставить 2 синих и 6 красных ладей на доску 10×10 так, чтобы никакие две ладьи, вне зависимости от цвета, не били друг друга. Сколько различных натуральных делителей имеет число N? Доска считается жёстко закреплённой (пронумерована буквами и цифрами), поворачивать её нельзя.

Answer 1

Ответ:

840

Пошаговое объяснение:

Заметим, что все ладьи будут стоять в разных строках и разных столбцах. Тогда способов выбрать 8 строк из 10 - С из 10 по 8 = 10!/(8!*2!). В первой строке будет 10 свободных позиций, во 2 строке будет 9 (т.к. один столбик уже занят), в 3 - 8, и т.д. Получааем 10*9*...*3 = 10!/2. Способов выбрать 2 ладьи из 8 (те, которые будут синими) - С из 8 по 2, т.е. 8!/(2!*6!). Итого, получаем n = 10!/(2!*8!) * 10!/2 * 8!/(2!*6!) = 10 * 9/2 * 10!/2 * 8 * 7 / 2 = 10 * 9 * 7 * 10! = 2^9 * 3^6 * 5^3 * 7^2. Значит, делителей у этого числа (9 + 1)*(6 + 1)*(3 + 1)*(2 + 1) = 840 (к каждой степени прибавляем 1 и перемножаем - получаем число делителей)

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте сначала определим количество способов расставить 2 синих и 6 красных ладей на доске 10x10.

Если мы начнем с размещения синих ладей, у нас будет \(10 \times 10 = 100\) вариантов выбора для первой ладьи и \(9 \times 9 = 81\) вариант выбора для второй ладьи (после размещения первой, второй не может стоять на том же ряду или столбце). Таким образом, общее количество способов размещения двух синих ладей равно \(100 \times 81\).

Теперь рассмотрим количество способов размещения 6 красных ладей. Поскольку красные ладьи могут стоять на любых оставшихся местах, количество способов размещения красных ладей равно \(C(8,6)\), где \(C(n, k)\) - количество сочетаний из \(n\) по \(k\), т.е. число способов выбрать \(k\) элементов из \(n\).

Таким образом, общее количество способов размещения 2 синих и 6 красных ладей равно:

\[100 \times 81 \times C(8,6)\]

Теперь перейдем к вопросу о количестве различных натуральных делителей числа \(N\). Чтобы найти это количество, мы разлагаем число \(N\) на простые множители и используем формулу для количества делителей.

Если \(N\) имеет разложение на простые множители в виде \(N = p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times \ldots \times p_k^{a_k}\), где \(p_1, p_2, \ldots, p_k\) - простые числа, а \(a_1, a_2, \ldots, a_k\) - их степени, то количество натуральных делителей \(N\) равно \((a_1 + 1) \times (a_2 + 1) \times \ldots \times (a_k + 1)\).

Таким образом, чтобы определить количество различных натуральных делителей числа \(N\), нужно разложить \(N\) на простые множители и применить формулу, описанную выше.