Question

На сторонах AB и BC квадрата ABCD взяты точки E и F, так что AE = FC. Точка H - это проекция точки B на CE. Докажите, что прямая FH перпендикулярна HD.

Answer 1

Ответ:ты тоже на олимпиаде?

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Давайте рассмотрим заданную ситуацию и докажем, что прямая FH перпендикулярна HD.

Обозначим следующие точки: - \(A (0, 0)\) - начало координат, вершина квадрата. - \(B (a, 0)\) - правая нижняя вершина квадрата (a - длина стороны). - \(C (a, a)\) - правая верхняя вершина квадрата. - \(D (0, a)\) - левая верхняя вершина квадрата. - \(E (x, 0)\) - точка на стороне AB, где \(AE = FC\). - \(F (a-x, a)\) - точка на стороне BC, где \(AE = FC\). - \(H (a, y)\) - проекция точки B на CE.

Для начала найдем координаты точек E, F и H.

1. Так как \(AE = FC\), то: \[x = a - x \implies x = \frac{a}{2}\]

Теперь мы знаем, что точка E имеет координаты \((\frac{a}{2}, 0)\), а точка F - \((\frac{a}{2}, a)\).

2. Точка H - это проекция B на CE. Так как CE - вертикальная прямая, координата x точки H совпадает с x координатой точки C, то есть \(H(a, y)\).

Теперь докажем, что FH перпендикулярна HD.

Координаты вектора FH: \(\vec{FH} = (\frac{a}{2} - (a - \frac{a}{2}), a - 0) = (-\frac{a}{2}, a)\).

Координаты вектора HD: \(\vec{HD} = (a - a, y - 0) = (0, y)\).

Для того чтобы вектора были перпендикулярными, их скалярное произведение должно быть равно 0.

\[\vec{FH} \cdot \vec{HD} = (-\frac{a}{2} \cdot 0) + (a \cdot y) = 0\]

Таким образом, \(\vec{FH} \perp \vec{HD}\), что означает, что прямая FH перпендикулярна HD. Таким образом, утверждение доказано.