Question

1) решите уравнение: 2 cos(x-π/6)+√2=0 на промежутке 0°<x<2π 2) решите уравнение: 2cos²x-3sinx=0​

Answer 1

Пошаговое объяснение:

1)

$></p> <p><img src=$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x=\dfrac{\pi }{6}^{\backslash4} - \dfrac{3\pi }{4}^{\backslash3} +2\pi k,~k\in\mathbb {Z} \\\\ x=\dfrac{\pi }{6}^{\backslash4} + \dfrac{3\pi }{4}^{\backslash3} +2\pi n,~n\in\mathbb {Z} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} x= - \dfrac{5\pi }{12} +2\pi k,~k\in\mathbb {Z} \\\\ x= \dfrac{5\pi }{4} +2\pi n,~n\in\mathbb {Z} \end{array} \right.$

Найдем корни, принадлежащие промежутку

$0$

$k=1,x= -\dfrac{5\pi }{12} +2\pi= \dfrac{-5\pi +24\pi }{12} =\dfrac{19\pi }{24}$

$n=0,x= \dfrac{5\pi }{4}$

Ответ: $\dfrac{5\pi }{4} ;\dfrac{19\pi }{24} .$

2)

$2cos^{2} x-3sinx=0;\\2(1-sin^{2} x)-3sinx=0 ;\\2-2sin^{2} x-3sinx=0|\cdot(-1);\\2sin^{2} x+3sinx-2=0$

Пусть $sinx=t, |t|\leq 1$. Тогда уравнение принимает вид

$2t^{2} +3t-2=0;\\D= 3^{2} -4\cdot2\cdot(-2)=9+16=25=5^{2} \\ \left [\begin{array}{l} t= \dfrac{-3-5}{4} , \\\\ t= \dfrac{-3+5}{4}; \end{array} \right.\Leftrightarrow \left [\begin{array}{l} t= -2 , \\\\ t= \dfrac{1}{2}. \end{array} \right.$

Условию$|t|\leq 1$  удовлетворяет $t= \dfrac{1}{2}$

Тогда

$sinx=\dfrac{1}{2} ;\\\\ \left[\begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} +2\pi k,~k\in\mathbb {Z}, \\\\ x = \dfrac{5\pi }{6} +2\pi n,~n\in\mathbb {Z} \end{array} \right.$

Ответ: $\dfrac{\pi }{6} +2\pi k, \dfrac{5\pi }{6} +2\pi n,~k,n\in\mathbb {Z}$

Answer 2

Давайте решим каждое уравнение по порядку.

Решение уравнения 1: 2 cos(x-π/6) + √2 = 0

Для начала, давайте приведём уравнение к более удобному виду. Мы знаем, что cos(x-π/6) = -√2/2. Подставим это значение в уравнение:

2(-√2/2) + √2 = 0

-√2 + √2 = 0

Как видим, получается 0 = 0. Это означает, что уравнение имеет бесконечное количество решений. На промежутке 0° < x < 2π, уравнение будет выполняться для любых значений x.

Решение уравнения 2: 2cos²x - 3sinx = 0

Для решения этого уравнения, давайте преобразуем его к виду, где будет только одна тригонометрическая функция. Мы знаем, что sin²x + cos²x = 1. Подставим это значение в уравнение:

2cos²x - 3sinx = 0

2(1 - sin²x) - 3sinx = 0

2 - 2sin²x - 3sinx = 0

2sin²x + 3sinx - 2 = 0

Теперь мы получили квадратное уравнение относительно sinx. Давайте решим его с помощью квадратного уравнения.

Обозначим sinx как t:

2t² + 3t - 2 = 0

Теперь нам нужно найти значения t, удовлетворяющие этому уравнению, а затем найти значения x, соответствующие этим значениям t.

Мы можем решить это квадратное уравнение с помощью факторизации, метода квадратного корня или квадратного дискриминанта. Давайте воспользуемся методом квадратного дискриминанта.

Дискриминант (D) для нашего уравнения равен:

D = b² - 4ac

где a = 2, b = 3 и c = -2.

D = (3)² - 4(2)(-2) = 9 + 16 = 25

Так как D > 0, у нас есть два различных действительных корня.

Корни нашего уравнения будут:

t₁ = (-b + √D) / (2a)

t₂ = (-b - √D) / (2a)

t₁ = (-3 + √25) / (2*2) = (-3 + 5) / 4 = 1/2

t₂ = (-3 - √25) / (2*2) = (-3 - 5) / 4 = -2

Теперь мы найдем значения x, соответствующие этим значениям sinx.

Для t₁ = 1/2:

sinx = 1/2

x = arcsin(1/2)

На промежутке 0° < x < 2π, у нас есть два решения: x₁ = π/6 и x₂ = 5π/6.

Для t₂ = -2:

sinx = -2

Так как значение sinx не может быть больше 1 или меньше -1, у нас нет решений для этого значения t₂.

Таким образом, уравнение 2cos²x - 3sinx = 0 имеет два решения: x₁ = π/6 и x₂ = 5π/6 на промежутке 0° < x < 2π.