Question

Найдите все натуральные числа, которые при стирании последней цифры уменьшаются на 2021

Answer 1

Ответ:

Одно решение: 2245.

Пошаговое объяснение:

1 вариант. Из 4-значного числа делаем 3-значное.

Если взять наименьшее: 1000 - 100 = 900 < 2021

Если взять наибольшее: 9999 - 999 = 9000 > 2021.

Значит, это возможно.

1000a + 100b + 10c + d - (100a + 10b + c) = 2021

1000a + 100(b-a) + 10(c-b) + (d-c) = 2021

Очевидно,

а = 2

b - a = 0; b = 2

c - b = 2; c = 4

d - c = 1; d = 5

2245 - 224 = 2021.

Но может быть заём из сотен в десятки.

a = 2

b - a - 1 = 0; b = 3

10+c - b = 2; 10+c = 5 - не может быть.

Может быть заём из десятков в единицы.

a = 2

b - a = 0; b = 2

c - b - 1 = 2; c = 5

10+d - c = 1; 10+d = 6 - не может быть.

2 вариант. Из 5-значного делаем 4-значное.

Если взять наименьшее: 10000 - 1000 = 9000 > 2021

Решений нет.

Таким образом, решение только одно: 2245.

Answer 2

Давайте обозначим неизвестное число как \( N \). Если мы стираем последнюю цифру числа \( N \), то оставшееся число можно представить как \( N' \). Условие задачи утверждает, что \( N - N' = 2021 \). Давайте выразим \( N \) и \( N' \) в виде суммы степеней десяти:

\[ N = a_n \cdot 10^n + a_{n-1} \cdot 10^{n-1} + \ldots + a_1 \cdot 10 + a_0 \] \[ N' = a_n \cdot 10^{n-1} + a_{n-1} \cdot 10^{n-2} + \ldots + a_1 \]

где \( a_i \) - цифры числа, \( n \) - количество цифр в числе.

Теперь выразим разность \( N - N' \) и приравняем ее к 2021:

\[ a_n \cdot 10^n + a_{n-1} \cdot 10^{n-1} + \ldots + a_1 \cdot 10 + a_0 - \left( a_n \cdot 10^{n-1} + a_{n-1} \cdot 10^{n-2} + \ldots + a_1 \right) = 2021 \]

Упростим это выражение:

\[ a_n \cdot 10^n + a_{n-1} \cdot 10^{n-1} + \ldots + a_1 \cdot 10 + a_0 - a_n \cdot 10^{n-1} - a_{n-1} \cdot 10^{n-2} - \ldots - a_1 = 2021 \]

Сократим подобные слагаемые:

\[ a_n \cdot 10^n - a_n \cdot 10^{n-1} + a_{n-1} \cdot 10^{n-1} - a_{n-1} \cdot 10^{n-2} + \ldots + a_1 \cdot 10 - a_1 = 2021 \]

Группируем слагаемые:

\[ a_n \cdot (10^n - 10^{n-1}) + a_{n-1} \cdot (10^{n-1} - 10^{n-2}) + \ldots + a_1 \cdot (10 - 1) = 2021 \]

Факторизуем:

\[ a_n \cdot 10^{n-1} \cdot (10 - 1) + a_{n-1} \cdot 10^{n-2} \cdot (10 - 1) + \ldots + a_1 \cdot (10 - 1) = 2021 \]

Упрощаем:

\[ 9(a_n \cdot 10^{n-1} + a_{n-1} \cdot 10^{n-2} + \ldots + a_1) = 2021 \]

Теперь, разделим обе стороны на 9:

\[ a_n \cdot 10^{n-1} + a_{n-1} \cdot 10^{n-2} + \ldots + a_1 = \frac{2021}{9} \]

Заметим, что левая часть равенства представляет собой целое число. Таким образом, \( \frac{2021}{9} \) должно быть делителем этой суммы. Посмотрим, какие у \( \frac{2021}{9} \) делителей:

\[ \frac{2021}{9} = 224 \, \text{остаток} \, 5 \]

Таким образом, \( \frac{2021}{9} \) не является целым числом. Это означает, что нет натуральных чисел, которые при стирании последней цифры уменьшаются на 2021.