Question

Знайти координати вектора х, перпендикулярного до площини АВС: А(1,3,4) В(-1,0,9) С(3,2,3), якщо |х|=5 коренів з трьох

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для того чтобы найти координаты вектора \( \mathbf{x} \), перпендикулярного к плоскости, заданной точками \( A(1,3,4) \), \( B(-1,0,9) \) и \( C(3,2,3) \), мы можем воспользоваться свойствами векторного произведения.

Пусть векторы \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \) лежат в плоскости \( ABC \). Тогда векторное произведение \( \vec{N} = \vec{AB} \times \vec{AC} \) будет направлено вдоль нормали к этой плоскости. После этого мы можем нормировать вектор \( \vec{N} \) (умножить его на \( \frac{1}{|\vec{N}|} \)), чтобы получить вектор единичной длины, перпендикулярный к плоскости.

Давайте вычислим векторы \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \):

\[ \vec{AB} = B - A = (-1 - 1, 0 - 3, 9 - 4) = (-2, -3, 5) \]

\[ \vec{AC} = C - A = (3 - 1, 2 - 3, 3 - 4) = (2, -1, -1) \]

Теперь найдем векторное произведение \( \vec{N} = \vec{AB} \times \vec{AC} \):

\[ \vec{N} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2 & -3 & 5 \\ 2 & -1 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i} \cdot (-3 \cdot (-1) - 5 \cdot (-1)) - \mathbf{j} \cdot (-2 \cdot (-1) - 5 \cdot 2) + \mathbf{k} \cdot (-2 \cdot (-1) - (-3) \cdot 2) \]

\[ = 2\mathbf{i} - 12\mathbf{j} - 4\mathbf{k} \]

Теперь найдем длину вектора \( \vec{N} \):

\[ |\vec{N}| = \sqrt{2^2 + (-12)^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 144 + 16} = \sqrt{164} \]

Теперь нормируем вектор \( \vec{N} \):

\[ \vec{N_{normalized}} = \frac{1}{|\vec{N}|} \cdot \vec{N} = \frac{1}{\sqrt{164}} \cdot (2\mathbf{i} - 12\mathbf{j} - 4\mathbf{k}) \]

Таким образом, координаты вектора \( \mathbf{x} \), перпендикулярного к плоскости \( ABC \) и имеющего длину \( |x| = \sqrt{3} \), будут:

\[ \mathbf{x} = \pm \sqrt{3} \cdot \vec{N_{normalized}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{164}} \cdot (2\mathbf{i} - 12\mathbf{j} - 4\mathbf{k}) \]

Таким образом, координаты вектора \( \mathbf{x} \) будут пропорциональны координатам вектора \( (2, -12, -4) \) с коэффициентом \( \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{164}} \).