Question

2sin^2 x - 3cosx=0 Помогите пожалуйста. Решить как триганометрическое уравнение

Answer 1

Ответ:

$\boxed{ x = б\dfrac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb Z }$

Пошаговое объяснение:

$2 \sin^{2} x - 3\cos x = 0$

$2( 1 - \cos^{2} x) - 3 \cos x = 0$

$2- 2\cos^{2} x - 3 \cos x = 0$

$2\cos^{2} x + 3 \cos x - 2 = 0$

$\cos x = t; -1\leq t \leq 1$

$2t^{2} + 3t - 2 = 0$

$D = 9 - 4 \cdot 2 \cdot (- 2) = 9 + 16 = 25 = 5^{2}$

$t_{1} = \dfrac{-3 + 5}{2 \cdot 2} = \dfrac{2}{2 \cdot 2}= \dfrac{1}{2}; -1 < \dfrac{1}{2} < 1 ; \Longrightarrow \boxed{ t = \dfrac{1}{2} }$

$t_{2} = \dfrac{-3 - 5}{2 \cdot 2} = \dfrac{-8}{4}= -2; -2 \notin [-1;1]$

$\cos x = \dfrac{1}{2}$

$x = б\arccos \left ( \dfrac{1}{2} \right ) + 2\pi n, n \in \mathbb Z$

$x = б\dfrac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb Z$

Answer 2

Давайте решим уравнение \(2\sin^2(x) - 3\cos(x) = 0\) методом замены тригонометрических функций.

Заметим, что \(\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)\), поэтому можем заменить \(\sin^2(x)\) в уравнении:

\[2(1 - \cos^2(x)) - 3\cos(x) = 0\]

Упростим:

\[2 - 2\cos^2(x) - 3\cos(x) = 0\]

Теперь объединим все члены в одном квадрате:

\[2\cos^2(x) + 3\cos(x) - 2 = 0\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \(\cos(x)\). Решим его, используя, например, квадратное уравнение:

\[\cos(x) = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

В данном случае, \(a = 2\), \(b = 3\), и \(c = -2\). Подставим значения:

\[\cos(x) = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(2)(-2)}}{2(2)}\]

Вычислим подкоренное выражение:

\[\cos(x) = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4}\]

\[\cos(x) = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{4}\]

Теперь у нас два возможных значения для \(\cos(x)\):

1. \(\cos(x) = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{1}{2}\) 2. \(\cos(x) = \frac{-3 - 5}{4} = -2\)

Второе значение \(\cos(x) = -2\) не имеет смысла, так как косинус всегда находится в пределах от -1 до 1. Таким образом, мы получаем одно допустимое решение:

\[\cos(x) = \frac{1}{2}\]

Теперь найдем значения \(x\), удовлетворяющие этому уравнению. Обратная косинусная функция \(\cos^{-1}(x)\) даст нам эти значения:

\[x = \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)\]

Значение \(\cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)\) соответствует углу \(\frac{\pi}{3}\). Таким образом, у нас есть одно решение:

\[x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}\]

Итак, уравнение \(2\sin^2(x) - 3\cos(x) = 0\) имеет решение \(x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n\), где \(n\) - любое целое число.