Question

Решить ДУ. Найти общее и частное решение. у "-12у ′ +36у=0 у(0)= 2 у ’ (0) = 13

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

к²-12к+36=0

(к-6)²=0

к=6

у=С₁е^(6x)+xC₂e^(6x)

y'=6C₁e^(6x)+C₂e^(6x)+6xC₂e^(6x)

2=C₁

13=6C₁+C₂

13=12+C₂

1=C₂

y=2e^(6x)+xe^(6x)

Answer 2

Дано дифференциальное уравнение (ДУ):

\[ -12y' + 36y = 0, \]

с начальными условиями \(y(0) = 2\) и \(y'(0) = 13\).

Чтобы решить это уравнение, начнем с нахождения характеристического уравнения. Уравнение имеет вид:

\[ -12r + 36 = 0. \]

Решая это уравнение относительно \(r\), получаем \(r = 3\). Таким образом, характеристическое уравнение имеет один корень \(r = 3\).

Теперь найдем общее решение для однородной части ДУ. Общее решение линейного однородного ДУ с постоянными коэффициентами имеет вид:

\[ y_h(t) = C e^{rt}, \]

где \(C\) - произвольная постоянная.

Подставим значение \(r = 3\) в формулу общего решения:

\[ y_h(t) = C e^{3t}. \]

Теперь найдем частное решение неоднородной части ДУ. В данном случае, неоднородная часть равна нулю, поэтому частное решение будет тривиальным.

Общее решение неоднородного ДУ будет представлять собой сумму общего решения однородной части и частного решения:

\[ y(t) = y_h(t) + y_p(t). \]

Теперь применим начальные условия \(y(0) = 2\) и \(y'(0) = 13\) для определения константы \(C\).

1. Подставим \(t = 0\) и \(y(0) = 2\):

\[ y(0) = C e^{3 \cdot 0} = C = 2. \]

Таким образом, мы нашли значение константы \(C\).

Теперь, используя найденное значение \(C\), находим частное решение \(y(t)\):

\[ y(t) = 2e^{3t}. \]

Таким образом, общее решение данного ДУ:

\[ y(t) = 2e^{3t}. \]

Это уравнение описывает функцию, удовлетворяющую заданным условиям.