Question

Скорость точки, движущейся прямолинейно, задана уравнение v = t^2 − 8t + 2. Вычислите е путь за 2с от начала движения даю 60 баллов

Answer 1

   Известно, что скорость — производная перемещения по времени. Следовательно, чтобы идти обратно, нужно интегрировать. Интеграл будет определённый, с пределами [0;2], так как просят найти перемещение за первые 2 секунды. Важно! Если необходимо найти перемещение — ищем определённый интеграл, а если путь, то площадь под графиком:

$\displaystyle{ \frac{d{\ell}}{dt} }={v}(t)$

Умножаем обе части на dt:

$\displaystyle{ {d{\ell}} }={v}(t)dt$

Интегрируем:

$\displaystyle{ {\ell} = \int\limits^2_0 {{v}(t)} \,dt }$

   Закон изменения скорости дан по условию. Найдём нули этой функции:

$t^2 - 8t+ 2 = 0$

$\displaystyle \left \{ {{ t_1 = 4+\sqrt{14} } \atop { t_2 = 4-\sqrt{14} }} \right.$

См. фото

Площадь в промежутке [0; 4 - √(14)] обозначим S1, а [4 - √(14); 2] - S2

$\displaystyle S_1 = | \int\limits^{4-\sqrt{14} }_0 t^2 - 8t+ 2 \, dt |$

$\displaystyle S_1 = | \frac{t^3}{3} - 4t^2 +2t | \Bigg{|}^\lims{4-\sqrt{14}}_{0}$

$\displaystyle S_1 = |\frac{28\sqrt{14} - 104}{3} | = \frac{28\sqrt{14} - 104}{3}$

$\displaystyle S_2 = | \int\limits^{2} }_{4-\sqrt{14}} t^2 - 8t+ 2 \, dt |$

$\displaystyle S_2 = | \frac{t^3}{3} - 4t^2 +2t | \Bigg{|}^\lims{2}_{4-\sqrt{14}}$

$\displaystyle S_2 = |\frac{76-28\sqrt{14} }{3} | = \frac{28\sqrt{14} - 76 }{3}$

Общая площадь:

$\displaystyle S_1 +S_2 = \frac{56\sqrt{14} - 180}{3}$

Answer 2

Для решения данной задачи нам необходимо вычислить путь, пройденный точкой за 2 секунды от начала движения. Для этого мы должны использовать уравнение скорости, которое задано как v = t^2 - 8t + 2.

Нахождение пути

Чтобы вычислить путь, мы должны проинтегрировать уравнение скорости по времени от начального момента времени до конечного момента времени.

Интегрируя уравнение скорости, получим уравнение для пути (s) от начального момента времени (t1) до конечного момента времени (t2):

s = ∫(t1 to t2) v dt

В данном случае, t1 = 0 (начало движения) и t2 = 2 (2 секунды от начала движения).

Вычисление пути

Для вычисления пути, нам необходимо найти неопределенный интеграл функции скорости v(t) и подставить в него верхний и нижний пределы интегрирования:

s = ∫(0 to 2) (t^2 - 8t + 2) dt

Вычислим интеграл по каждому слагаемому по отдельности:

s = ∫(0 to 2) t^2 dt - ∫(0 to 2) 8t dt + ∫(0 to 2) 2 dt

Интегрируем каждое слагаемое:

s = (1/3)t^3 |(0 to 2) - 4t^2 |(0 to 2) + 2t |(0 to 2)

Вычисляем значения в верхних и нижних пределах каждого интеграла:

s = (1/3)(2^3) - (1/3)(0^3) - 4(2^2) + 4(0^2) + 2(2) - 2(0)

Упрощаем выражение:

s = (1/3)(8) - 4(4) + 4 - 0

s = 8/3 - 16 + 4

s = -16/3

Итак, путь, пройденный точкой за 2 секунды от начала движения, равен -16/3 или приблизительно -5.33.

Ответ

Таким образом, путь, пройденный точкой за 2 секунды от начала движения, составляет примерно -5.33 единицы длины.