Question

Помогите решить , пожалуйста : ³√arctg ²x / 1+x² dx​

Answer 1

Ответ: $\frac{\sqrt[3]{arctg^{5}x}}{5}+C$

Пошаговое объяснение:$\int\frac{\sqrt[3]{arctg^{2}x}}{1+x^2} \ dx =\int\sqrt[3]{arctg^{2}x}\ d(arctgx)=\left[\begin{array}a arctgx=t \end{array}\right] =\int\sqrt[3]{t^{2}}\ dt=\int{t}^{\frac{2}{3} } \ dt=\dfrac{3t^{\frac{5}{3} }}{5} +C=\frac{\sqrt[3]{arctg^{5}x}}{5}+C$

Answer 2

Конечно, давайте решим данный интеграл:

\[ \int \frac{\sqrt[3]{\arctan^2(x)}}{1 + x^2} \,dx \]

Для начала давайте воспользуемся заменой переменной. Пусть \( u = \arctan(x) \), тогда \( du = \frac{1}{1+x^2} \,dx \).

Теперь подставим эти значения в исходный интеграл:

\[ \int \frac{\sqrt[3]{\arctan^2(x)}}{1 + x^2} \,dx = \int \sqrt[3]{u^2} \,du \]

Теперь мы имеем степенную функцию вида \( u^n \), где \( n = \frac{2}{3} \). Мы можем воспользоваться стандартной формулой для интегрирования степенных функций:

\[ \int u^n \,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C \]

где \( C \) - константа интегрирования.

Применяя эту формулу к нашему интегралу, получаем:

\[ \frac{3}{5}u^{5/3} + C \]

Теперь, заменяя обратно переменную \( u \) на \( \arctan(x) \), получаем:

\[ \frac{3}{5}\arctan^{5/3}(x) + C \]

где \( C \) - константа интегрирования. Таким образом, окончательный ответ:

\[ \int \frac{\sqrt[3]{\arctan^2(x)}}{1 + x^2} \,dx = \frac{3}{5}\arctan^{5/3}(x) + C \]

где \( C \) - произвольная константа.