Question

В прямоугольнике ABCD из вершин Ви D опущены перпендикуляры на диагональ АС. Эти перпендикуляры пересекают диагональ в точках РиQ соответственно. Найдите площадь прямоугольника, если AP = 6, PQ = 18. ​

Answer 1

Ответ:

360 кв. ед.

Пошаговое объяснение:

ΔABC = ΔCDA, так как диагональ делит прямоугольник на два равных треугольника, значит равны высоты, проведенные к равным сторонам:

BP = DQ.

ΔАВР = ΔCDQ по гипотенузе и катету (АВ = CD как противоположные стороны прямоугольника, ВР = DQ), значит

CQ = AP = 6.

PC = PQ + CQ = 18 + 6 = 24

AC = AP + PC = 6 + 24 = 30

ΔАВР:  ∠АРВ = 90°, ВР - его высота, тогда

  BP² = AP · PC

  BP = √(6 · 24) = √(6 · 6 · 4) = 6 · 2 = 12

$S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AC\cdot BP=\dfrac{1}{2}\cdot 30\cdot 12=\dfrac{1}{2}\cdot 360$

Площадь прямоугольника в 2 раза больше:

$S=2S_{ABC}=360$

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится использовать свойства прямоугольника и прямоугольного треугольника.

Свойства прямоугольника

1. Противоположные стороны прямоугольника параллельны и равны по длине. 2. Диагонали прямоугольника равны по длине и делят его на два равных прямоугольных треугольника.

Свойства прямоугольного треугольника

1. В прямоугольном треугольнике, где один из углов прямой, квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов (теорема Пифагора).

Дано, что AP = 6 и PQ = 18. Мы можем использовать эти данные, чтобы найти длину диагонали AC.

Нахождение длины диагонали AC

Используя свойства прямоугольного треугольника, можно записать следующее уравнение:

AP^2 + PQ^2 = AQ^2

Подставляем известные значения:

6^2 + 18^2 = AQ^2

36 + 324 = AQ^2

360 = AQ^2

AQ = sqrt(360)

AQ ≈ 18.97366596

Теперь, когда у нас есть длина диагонали AC, мы можем найти площадь прямоугольника ABCD.

Нахождение площади прямоугольника ABCD

Площадь прямоугольника можно найти, умножив длину одной стороны на длину противоположной стороны. В данном случае, мы можем использовать длину диагонали AC и длину стороны AB, так как они равны по длине.

По свойствам прямоугольника, AB = AC. Таким образом, площадь прямоугольника ABCD равна:

Площадь = AB * AC

Подставляем известные значения:

Площадь = 18.97366596 * 18.97366596

Площадь ≈ 359.9869837

Итак, площадь прямоугольника ABCD примерно равна 359.99 (округлено до двух десятичных знаков).