Question

Найдите значение параметра a, при которых один корень уравнения (a-2)x^2-4ax+6=0 больше 3, а другой – меньше.

Answer 1

Ответ:

а = 6

Пошаговое объяснение:

графиком данной функции является парабола с координатами вершины $x_{0} =-\frac{b}{2a} ;y_{0} =-\frac{D}{4a}$

на оси координат $x_0$ находится между значениями корней $x_{1}$ и $x_{2}$ (независимо от того,куда направлены ветви параболы)

для определения значения параметра,при котором $x_{1}$ > 3,а $x_{2}$ < 3, подставим значения коэффициентов a и b уравнения в $x_0$ и приравняем к 3:

$-\frac{b}{2a} =\frac{4a}{2(a-2)} =3$

$2a=3(a-2)\\a=6$

Answer 2

Давайте решим уравнение \((a-2)x^2 - 4ax + 6 = 0\) и найдем условия, при которых один корень больше 3, а другой меньше.

Обозначим корни уравнения через \(x_1\) и \(x_2\). По формуле Виета для квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\), сумма корней равна \(-\frac{b}{a}\), а произведение корней равно \(\frac{c}{a}\).

В данном уравнении:

\[\begin{split} & a = a - 2 \\ & b = -4a \\ & c = 6 \end{split}\]

Таким образом, сумма корней уравнения будет \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = \frac{4a}{a} = 4\), а произведение корней \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{6}{a}\).

Теперь по условию задачи один корень должен быть больше 3, а другой меньше. Пусть \(x_1 > 3\) и \(x_2 < 3\). Тогда получаем систему неравенств:

\[\begin{split} & \begin{cases} x_1 + x_2 = 4 \\ x_1 \cdot x_2 = \frac{6}{a} \end{cases} \\ & x_1 > 3, \ x_2 < 3 \end{split}\]

Решение этой системы позволит нам найти значения параметра \(a\), при которых выполняются указанные условия.

Выразим \(x_2\) из первого уравнения:

\[x_2 = 4 - x_1\]

Подставим это выражение во второе уравнение:

\[x_1 \cdot (4 - x_1) = \frac{6}{a}\]

Раскроем скобки:

\[4x_1 - x_1^2 = \frac{6}{a}\]

Приведем уравнение к стандартному виду:

\[x_1^2 - 4x_1 + \frac{6}{a} = 0\]

Теперь используем дискриминант (\(\Delta\)) этого квадратного уравнения, чтобы определить условия его решения:

\[\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot \frac{6}{a}\]

\[\Delta = 16 - \frac{24}{a}\]

Так как у нас должно быть два корня (один больше 3, а другой меньше), дискриминант должен быть положительным:

\[16 - \frac{24}{a} > 0\]

Решая это неравенство, получаем:

\[\frac{24}{a} < 16\]

\[a > \frac{24}{16}\]

\[a > \frac{3}{2}\]

Таким образом, при \(a > \frac{3}{2}\) условия задачи будут выполнены.