Question

Решите уравнение 2sin(pi+x)+3cos(-x)=0

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

-2sinx +3cosx =0,  | : cosx не =0,  -2tgx +3=0,  tgx=3/2

x=arc tg1,5 +pn,  n    E   Z

Answer 2

Давайте решим уравнение:

\[2\sin(\pi + x) + 3\cos(-x) = 0.\]

Для начала воспользуемся тригонометрическими тождествами:

1. \(\sin(\pi + x) = -\sin(x)\) (дополнительный угол); 2. \(\cos(-x) = \cos(x)\) (четность косинуса).

Подставим эти тождества в уравнение:

\[2(-\sin(x)) + 3\cos(x) = 0.\]

Упростим выражение:

\[-2\sin(x) + 3\cos(x) = 0.\]

Теперь выразим \(\sin(x)\) через \(\cos(x)\), воспользовавшись тождеством \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\):

\[\sin(x) = \sqrt{1 - \cos^2(x)}.\]

Подставим это в уравнение:

\[-2\sqrt{1 - \cos^2(x)} + 3\cos(x) = 0.\]

Теперь избавимся от корня, возводя обе стороны уравнения в квадрат:

\[4(1 - \cos^2(x)) + 9\cos^2(x) = 0.\]

Раскроем скобки:

\[4 - 4\cos^2(x) + 9\cos^2(x) = 0.\]

Сгруппируем члены с \(\cos(x)\):

\[5\cos^2(x) - 4 = 0.\]

Теперь решим это квадратное уравнение относительно \(\cos(x)\):

\[5\cos^2(x) - 4 = 0.\]

Разделим обе стороны на 5:

\[\cos^2(x) - \frac{4}{5} = 0.\]

Прибавим \(\frac{4}{5}\) к обеим сторонам:

\[\cos^2(x) = \frac{4}{5}.\]

Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон:

\[\cos(x) = \pm \sqrt{\frac{4}{5}}.\]

Таким образом, у нас два решения для \(\cos(x)\):

1. \(\cos(x) = \sqrt{\frac{4}{5}}\); 2. \(\cos(x) = -\sqrt{\frac{4}{5}}\).

Теперь найдем соответствующие значения для \(\sin(x)\), используя тригонометрическое тождество \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\):

1. Для \(\cos(x) = \sqrt{\frac{4}{5}}\):

\[\sin(x) = \sqrt{1 - \cos^2(x)} = \sqrt{1 - \frac{4}{5}} = \sqrt{\frac{1}{5}}.\]

2. Для \(\cos(x) = -\sqrt{\frac{4}{5}}\):

\[\sin(x) = \sqrt{1 - \cos^2(x)} = \sqrt{1 - \frac{4}{5}} = \sqrt{\frac{1}{5}}.\]

Таким образом, у нас два набора решений:

1. \(\cos(x) = \sqrt{\frac{4}{5}}, \quad \sin(x) = \sqrt{\frac{1}{5}}\); 2. \(\cos(x) = -\sqrt{\frac{4}{5}}, \quad \sin(x) = \sqrt{\frac{1}{5}}\).