Question

Найти производную y' данной функции y = 8[ sin(x^4 )∙arctg(x^4 )]^8 + [ 5cth(x^4 )]^4 + 8Ln[ 8sh(x^5 )]

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для нахождения производной функции y = 8[sin(x^4)∙arctg(x^4)]^8 + [5cth(x^4)]^4 + 8Ln[8sh(x^5)], мы можем использовать правила дифференцирования для элементарных функций и комбинированные правила дифференцирования, такие как правило производной произведения и правило производной сложной функции.

Шаг 1: Найдите производную каждого слагаемого

Для удобства, давайте обозначим каждое слагаемое: - Первое слагаемое: f(x) = [sin(x^4)∙arctg(x^4)]^8 - Второе слагаемое: g(x) = [5cth(x^4)]^4 - Третье слагаемое: h(x) = 8Ln[8sh(x^5)]

Шаг 2: Найдите производную каждого слагаемого отдельно

Давайте начнем с первого слагаемого: - f'(x) = 8[sin(x^4)∙arctg(x^4)]^7 * (sin(x^4)∙arctg(x^4))' - Для нахождения производной sin(x^4)∙arctg(x^4), нам понадобятся правила производной произведения и правила производной сложной функции. - (sin(x^4)∙arctg(x^4))' = (sin(x^4))' * arctg(x^4) + sin(x^4) * (arctg(x^4))' - (sin(x^4))' = cos(x^4) * (x^4)' - (x^4)' = 4x^3 - (arctg(x^4))' = 1 / (1 + (x^4)^2) * (x^4)' - (x^4)' = 4x^3 - Теперь мы можем подставить все значения обратно в f'(x): - f'(x) = 8[sin(x^4)∙arctg(x^4)]^7 * (cos(x^4) * 4x^3 * arctg(x^4) + sin(x^4) * (1 / (1 + (x^4)^2) * 4x^3))

Перейдем ко второму слагаемому: - g'(x) = 4[5cth(x^4)]^3 * (cth(x^4))' - Аналогично, используем правила производной произведения и правила производной сложной функции. - (cth(x^4))' = -1 / (sinh(x^4))^2 * (x^4)' - (x^4)' = 4x^3 - Теперь мы можем подставить все значения обратно в g'(x): - g'(x) = 4[5cth(x^4)]^3 * (-1 / (sinh(x^4))^2 * 4x^3)

И, наконец, третье слагаемое: - h'(x) = 8 * (Ln[8sh(x^5)])' - (Ln[8sh(x^5)])' = 1 / (8sh(x^5)) * (8sh(x^5))' - (8sh(x^5))' = 8 * (sh(x^5))' * (x^5)' - (x^5)' = 5x^4 - (sh(x^5))' = ch(x^5) * (x^5)' - (x^5)' = 5x^4 - Теперь мы можем подставить все значения обратно в h'(x): - h'(x) = 8 * (1 / (8sh(x^5)) * (8 * ch(x^5) * 5x^4))

Шаг 3: Сложите производные каждого слагаемого, чтобы получить производную функции y

Теперь, когда у нас есть производные каждого слагаемого, мы можем сложить их, чтобы получить производную функции y: - y'(x) = f'(x) + g'(x) + h'(x)

Подставим выражения для каждого слагаемого: - y'(x) = 8[sin(x^4)∙arctg(x^4)]^7 * (cos(x^4) * 4x^3 * arctg(x^4) + sin(x^4) * (1 / (1 + (x^4)^2) * 4x^3)) + 4[5cth(x^4)]^3 * (-1 / (sinh(x^4))^2 * 4x^3) + 8 * (1 / (8sh(x^5)) * (8 * ch(x^5) * 5x^4))

Это будет производная функции y относительно переменной x.