Question

1. Если прямая и окружность не пересекаются, то расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса этой окружности. помогите пожалуйста ​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Нет,

Если растояние от цента окружности до прямой меньше радиуса, То у прямой и окружности две общие точки. В этом случае прямую называют секущей окружности

Answer 2

Давайте докажем данное утверждение. Предположим, что у нас есть окружность с центром в точке \( O \) и радиусом \( r \), а также прямая \( l \), которая не пересекает данную окружность.

Так как прямая \( l \) не пересекает окружность, то расстояние от центра окружности до прямой \( l \) будет минимальным расстоянием между центром окружности и какой-либо точкой на прямой \( l \).

Предположим, что \( M \) - точка на прямой \( l \), ближайшая к центру окружности \( O \). Тогда вектор \( \overrightarrow{OM} \) будет перпендикулярен прямой \( l \) и проходить через центр окружности \( O \).

Пусть \( P \) - проекция точки \( M \) на прямую \( l \). Треугольник \( OPM \) является прямоугольным треугольником, так как вектор \( \overrightarrow{OM} \) перпендикулярен прямой \( l \).

Теперь рассмотрим отрезок \( OP \). По теореме Пифагора для треугольника \( OPM \) имеем:

\[ OP^2 = OM^2 + PM^2 \]

Так как \( OM \) - это расстояние от центра окружности до прямой \( l \), а \( PM \) - расстояние от точки \( M \) до проекции \( P \) на прямую \( l \), то \( OP \) - это искомое расстояние.

Рассмотрим радиус окружности \( r \). Так как точка \( M \) лежит на окружности, то:

\[ OM = r \]

Также, так как \( P \) - проекция точки \( M \) на прямую \( l \), то \( PM \) - это расстояние от точки \( M \) до прямой \( l \). Таким образом, \( PM \) не может быть больше \( OM \), и мы можем записать:

\[ PM \leq OM \]

Теперь подставим эти значения в уравнение Пифагора:

\[ OP^2 = OM^2 + PM^2 \leq OM^2 + OM^2 = 2 \cdot OM^2 \]

Таким образом, \( OP^2 \leq 2 \cdot OM^2 \), что означает:

\[ OP \leq \sqrt{2} \cdot OM \]

Таким образом, расстояние от центра окружности до прямой \( l \) не превышает \(\sqrt{2}\) раз радиуса окружности.

Итак, если прямая и окружность не пересекаются, то расстояние от центра окружности до прямой не превышает \(\sqrt{2}\) раз радиуса этой окружности.