Question

Решите пж 1)1-2 sin⁡(π/4+x/5)=0 2)5cos^2x + sin^2x + 6sin⁡x∙cos⁡x=0

Answer 1

sin2x-3x(2cosxsinx)5cos2x =0

sin2x-3sin2x+5cos2x=0

5cos2x-2sin2x=0:cos2x

5-2tgx=0

2tgc=5

tgx=2.5

x=arctg2,5

Answer 2

Давайте решим поочередно оба уравнения.

Уравнение 1:

\[ 1 - 2\sin\left(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{5}\right) = 0 \]

1. Найдем аргумент синуса: \[ \frac{\pi}{4} + \frac{x}{5} = \frac{\pi}{2} \] Решим уравнение: \[ \frac{x}{5} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \] \[ \frac{x}{5} = \frac{\pi}{4} \] \[ x = \frac{5\pi}{4} \]

2. Подставим полученное значение x в уравнение и проверим: \[ 1 - 2\sin\left(\frac{\pi}{4} + \frac{5\pi}{4 \cdot 5}\right) = 1 - 2\sin\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4}\right) \] \[ 1 - 2\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 - 2 \cdot 1 = -1 \]

Таким образом, уравнение \(1 - 2\sin\left(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{5}\right) = 0\) имеет одно решение \(x = \frac{5\pi}{4}\).

Уравнение 2:

\[ 5\cos^2x + \sin^2x + 6\sin x \cos x = 0 \]

1. Преобразуем уравнение: \[ 5(1 - \sin^2x) + \sin^2x + 6\sin x \cos x = 0 \] \[ 5 - 5\sin^2x + \sin^2x + 6\sin x \cos x = 0 \] \[ 6\sin x \cos x - 4\sin^2x - 5 = 0 \]

2. Факторизуем: \[ (2\sin x - 1)(3\sin x + 5\cos x) = 0 \]

3. Получаем два уравнения: - \(2\sin x - 1 = 0\) \[ \sin x = \frac{1}{2} \] Решение: \(x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{5\pi}{6} + 2\pi n\)

- \(3\sin x + 5\cos x = 0\) \[ \tan x = -\frac{3}{5} \] Решение: \(x = \arctan\left(-\frac{3}{5}\) + \pi n\)

Таким образом, уравнение \(5\cos^2x + \sin^2x + 6\sin x \cos x = 0\) имеет решения \(x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \arctan\left(-\frac{3}{5}\) + \pi n\), где \(n\) - любое целое число.