Question

Помогите, пожалуйста, найти предел , не используя правило Лопиталя lim(x стремится к 0) = (cos(5x) -1)/(x*tg2x)

Answer 1

Ответ:

$\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{cos\, 5x-1}{x\cdot tg2x}=\Big[\ 1-cos\, \alpha (x)=2sin^2\dfrac{\alpha (x)}{2}\ \Big]=\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{-2sin^22,5x}{x\cdot tg2x}=\\\\\\=\Big[\ sin\alpha (x)\sim \alpha (x)\ ,\ tg\alpha (x)\sim \alpha (x)\ ,\ \alpha (x)\to 0\ \Big]=\\\\\\=\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{-2\cdot (2,5x)^2}{x\cdot 2x}=\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{-6,25x^2}{x^2}=-6,25$

Answer 2

$\lim_{x \to 0} \frac{\cos(5x) - 1}{x\cdot tg(2x)} = L$

cos(5x) - 1 ≡ cos²(5x/2) - sin²(5x/2) - (cos²(5x/2) + sin²(5x/2)) ≡ -2sin²(5x/2)

$tg y \sim y$ при $y \to 0$

$\sin z \sim z$ при $z \to 0$

При $x \to 0$ имеем $\frac{5x}{2} \to 0$ и $2x \to 0$

$tg(2x) \sim 2x$

$\sin(\frac{5x}{2}) \sim \frac{5x}{2}$

$L = \lim_{x \to 0} \frac{-2\sin^2(\frac{5x}{2})}{x\cdot tg(2x)} =$

$= \lim_{x \to 0} \frac{-2\cdot \frac{5x}{2}\cdot\frac{5x}{2}}{x\cdot 2x} =$

$= \lim_{x \to 0} \frac{-2\cdot\frac{5}{2}\cdot\frac{5}{2}}{2} = -\frac{25}{4}$

Answer 3

Конечно, я могу помочь вам найти предел данной функции без использования правила Лопиталя. Для этого мы можем воспользоваться основными тригонометрическими тождествами и арифметическими операциями.

Имеем функцию: \[ f(x) = \frac{\cos(5x) - 1}{x \tan^2(x)} \]

Чтобы найти предел при \(x \to 0\), давайте разложим числитель и знаменатель в ряд Тейлора в окрестности \(x = 0\).

1. Разложение числителя: \[ \cos(5x) = 1 - \frac{(5x)^2}{2!} + \frac{(5x)^4}{4!} - \ldots \]

\[ \cos(5x) - 1 = - \frac{(5x)^2}{2!} + \frac{(5x)^4}{4!} - \ldots \]

2. Разложение знаменателя: \[ \tan(x) = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \ldots \]

\[ \tan^2(x) = x^2 + \frac{x^6}{3} + \frac{4x^{10}}{45} + \ldots \]

Теперь подставим эти разложения в исходную функцию:

\[ f(x) = \frac{\cos(5x) - 1}{x \tan^2(x)} \]

\[ f(x) = \frac{-\frac{(5x)^2}{2!} + \frac{(5x)^4}{4!} - \ldots}{x \left(x^2 + \frac{x^6}{3} + \frac{4x^{10}}{45} + \ldots\right)} \]

\[ f(x) = \frac{-\frac{25x^2}{2} + \frac{625x^4}{24} - \ldots}{x^3 + \frac{x^7}{3} + \frac{4x^{11}}{45} + \ldots} \]

Теперь мы можем упростить это выражение, отбросив более высокие степени \(x\) в числителе и знаменателе, так как они будут стремиться к нулю при \(x \to 0\).

\[ f(x) \approx \frac{-\frac{25x^2}{2}}{x^3} = -\frac{25}{2x} \]

Теперь найдем предел при \(x \to 0\):

\[ \lim_{{x \to 0}} f(x) = \lim_{{x \to 0}} -\frac{25}{2x} \]

\[ = -\infty \]

Таким образом, предел данной функции при \(x \to 0\) равен \(-\infty\).