Question

Решите уравнение: cos(x)+sin(3x)+sin(5x)=0

Answer 1

(2 sin(4 x) + 1) cos(x) = 0

sin^5(x) - sin^3(x) + cos(x) + 5 sin(x) cos^4(x) - 10 sin^3(x) cos^2(x) + 3 sin(x) cos^2(x) = 0

x≈2 (3.14159 n + 0.458149), n element Z

Answer 2

Для решения данного уравнения `cos(x) + sin(3x) + sin(5x) = 0` мы можем использовать различные методы, такие как графический метод, численные методы или аналитическое решение. Давайте рассмотрим аналитическое решение.

Аналитическое решение уравнения

1. Перепишем уравнение в виде `cos(x) = -sin(3x) - sin(5x)`.

2. Используя формулу сложения для синуса, раскроем правую часть уравнения: `cos(x) = -sin(3x) - sin(5x)` `cos(x) = -sin(3x) - (sin(3x)cos(2x) + cos(3x)sin(2x))` `cos(x) = -sin(3x) - sin(3x)cos(2x) - cos(3x)sin(2x)`

3. Применим формулы двойного аргумента для синуса и косинуса: `cos(x) = -2sin(3x)cos(x) - (1 - 2sin^2(3x))sin(2x)` `cos(x) = -2sin(3x)cos(x) - sin(2x) + 2sin^2(3x)sin(2x)`

4. Перепишем уравнение в виде `cos(x) + 2sin(3x)cos(x) + sin(2x) - 2sin^2(3x)sin(2x) = 0`.

5. Объединим подобные слагаемые и перенесем все в левую часть уравнения: `2sin(3x)cos(x) + cos(x) + sin(2x) - 2sin^2(3x)sin(2x) = 0`

6. Факторизуем выражение: `cos(x)(2sin(3x) + 1) + sin(2x)(1 - 2sin^2(3x)) = 0`

7. Рассмотрим два случая:

- `cos(x) = 0`: В этом случае `x = (2n + 1) * pi/2`, где `n` - целое число.

- `2sin(3x) + 1 = 0` и `1 - 2sin^2(3x) = 0`: Решим первое уравнение: `2sin(3x) = -1` `sin(3x) = -1/2` Мы знаем, что `sin(pi/6) = 1/2`, поэтому `3x = pi/6 + 2pi*n` или `3x = 5pi/6 + 2pi*n`, где `n` - целое число.

Решим второе уравнение: `1 - 2sin^2(3x) = 0` `2sin^2(3x) = 1` `sin^2(3x) = 1/2` `sin(3x) = ±sqrt(2)/2` Мы знаем, что `sin(pi/4) = sqrt(2)/2`, поэтому `3x = pi/4 + 2pi*n` или `3x = 3pi/4 + 2pi*n`, где `n` - целое число.

8. Общие решения уравнения: - `x = (2n + 1) * pi/2`, где `n` - целое число. - `x = (pi/6 + 2pi*n) / 3`, где `n` - целое число. - `x = (5pi/6 + 2pi*n) / 3`, где `n` - целое число. - `x = (pi/4 + 2pi*n) / 3`, где `n` - целое число. - `x = (3pi/4 + 2pi*n) / 3`, где `n` - целое число.

Это аналитическое решение уравнения `cos(x) + sin(3x) + sin(5x) = 0`. Надеюсь, это поможет вам! Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, дайте мне знать.