Question

3. Найдите произведение корней уравнения: x - 1---------- = 5 - x x - 2

Answer 1

Ответ:

x₁ × x₂= 9

Пошаговое объяснение:

ОДЗ: Найдём значение х, при котором знаменатель будет равен 0, и исключим его из области допустимых значений.

х-2=0, х=2.

ОДЗ: х Є (-∞; 2) U (2; +∞)

$\frac{x - 1}{x - 2} = 5 - x \\ \\ (x - 2)(5 - x) = (x - 1) \\ 5x - 10 - {x}^{2} + 2x - x + 1 = 0 \\ - {x}^{2} + 6x - 9 = 0 \\ {x}^{2} - 6x + 9 = 0$

По теореме Виета:

Если дано x² + bx + c = 0, где x₁ и x₂ являются корнями, то справедливы равенства:

x₁ + x₂ = -b

x₁ × x₂= c

В нашем случае b= -6, c=9.

Значит произведение корней уравнения х²-6х+9=0 будет:

x₁ × x₂= 9.

Найдём корни уравнения:

х²-6х-9=0

(х-3)²=0

х₁,₂ = 3 - входит в ОДЗ, а значит является корнем уравнения.

Answer 2

Для начала решим данное уравнение.

У нас есть уравнение:

\[ x - 1 = \frac{5 - x}{x - 2} \]

Чтобы избавиться от знаменателя, можно умножить обе стороны уравнения на \( x - 2 \):

\[ (x - 1)(x - 2) = 5 - x \]

Раскроем скобки:

\[ x^2 - 2x - x + 2 = 5 - x \] \[ x^2 - 3x + 2 = 5 - x \]

Теперь приведем всё квадратное уравнение к виду, где все члены находятся на одной стороне:

\[ x^2 - 3x + 2 + x - 5 = 0 \] \[ x^2 - 2x - 3 = 0 \]

Теперь найдем корни этого уравнения. Мы можем воспользоваться квадратным уравнением вида \( ax^2 + bx + c = 0 \) и использовать формулу:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Для уравнения \( x^2 - 2x - 3 = 0 \), где \( a = 1 \), \( b = -2 \) и \( c = -3 \), найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac \] \[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) \] \[ D = 4 + 12 \] \[ D = 16 \]

Так как дискриминант \( D > 0 \), у нас есть два корня:

\[ x = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} \quad \text{или} \quad x = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} \]

\[ x = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} \quad \text{или} \quad x = \frac{2 - \sqrt{16}}{2} \] \[ x = \frac{2 + 4}{2} \quad \text{или} \quad x = \frac{2 - 4}{2} \] \[ x = \frac{6}{2} \quad \text{или} \quad x = \frac{-2}{2} \] \[ x = 3 \quad \text{или} \quad x = -1 \]

Теперь найдем произведение корней.

\[ \text{Произведение корней} = x_1 \times x_2 \] \[ \text{Произведение корней} = 3 \times (-1) \] \[ \text{Произведение корней} = -3 \]

Итак, произведение корней уравнения \( x - 1 = \frac{5 - x}{x - 2} \) равно -3.