Question

Решите уравнение z^4=-i+1​

Answer 1

Ответ:

z^4=-i+1

z=( -i+1)^4/1

Answer 2

Давайте решим уравнение z^4 = -i + 1 по шагам.

Шаг 1: Представление числа -i + 1 в алгебраической форме Чтобы представить -i + 1 в алгебраической форме, мы должны найти его модуль и аргумент. Давайте это сделаем.

Модуль числа -i + 1: | -i + 1 | = sqrt((-1)^2 + 1^2) = sqrt(1 + 1) = sqrt(2)

Аргумент числа -i + 1: arg(-i + 1) = arctan(-1/1) = arctan(-1) = -π/4

Теперь мы можем представить -i + 1 в алгебраической форме: -i + 1 = sqrt(2) * (cos(-π/4) + i*sin(-π/4))

Шаг 2: Используем формулу Муавра для возведения в степень Формула Муавра гласит: z^n = r^n * (cos(nθ) + i*sin(nθ)), где r - модуль числа z, θ - аргумент числа z.

Применяя формулу Муавра, мы можем найти корни уравнения z^4 = -i + 1.

Заметим, что 4 = 2 * 2. Это означает, что уравнение имеет 4 корня, так как уравнение z^4 = -i + 1 является квадратным уравнением с корнем 2.

Корни будут иметь вид: z1 = sqrt(2)^(1/4) * (cos((-π/4 + 2π*k)/2) + i*sin((-π/4 + 2π*k)/2)), где k = 0, 1, 2, 3.

Шаг 3: Вычисляем значения корней Вычисляем значения корней, используя формулу для z1:

Для k = 0: z1 = sqrt(2)^(1/4) * (cos((-π/4 + 2π*0)/2) + i*sin((-π/4 + 2π*0)/2)) = sqrt(2)^(1/4) * (cos(-π/8) + i*sin(-π/8))

Для k = 1: z2 = sqrt(2)^(1/4) * (cos((-π/4 + 2π*1)/2) + i*sin((-π/4 + 2π*1)/2)) = sqrt(2)^(1/4) * (cos(7π/8) + i*sin(7π/8))

Для k = 2: z3 = sqrt(2)^(1/4) * (cos((-π/4 + 2π*2)/2) + i*sin((-π/4 + 2π*2)/2)) = sqrt(2)^(1/4) * (cos(15π/8) + i*sin(15π/8))

Для k = 3: z4 = sqrt(2)^(1/4) * (cos((-π/4 + 2π*3)/2) + i*sin((-π/4 + 2π*3)/2)) = sqrt(2)^(1/4) * (cos(23π/8) + i*sin(23π/8))

Таким образом, корни уравнения z^4 = -i + 1 равны: z1 = sqrt(2)^(1/4) * (cos(-π/8) + i*sin(-π/8)) z2 = sqrt(2)^(1/4) * (cos(7π/8) + i*sin(7π/8)) z3 = sqrt(2)^(1/4) * (cos(15π/8) + i*sin(15π/8)) z4 = sqrt(2)^(1/4) * (cos(23π/8) + i*sin(23π/8))

Это полное решение уравнения z^4 = -i + 1.