Question

5xydx=(1+ln y)dy. решите уравнение

Answer 1

y(x) = e^(-sqrt(2 (c_1 + (5 x^2)/2) + 1) - 1)

Answer 2

Чтобы решить данное уравнение, мы можем использовать метод разделения переменных.

Давайте разделим переменные и выразим x и y отдельно. Уравнение выглядит следующим образом:

5xy dx = (1 + ln y) dy

Разделим обе части уравнения на xy:

5x dx = (1 + ln y) * (dy/y)

Теперь мы можем проинтегрировать обе части уравнения.

Интегрируем левую часть по переменной x и правую часть по переменной y:

∫5x dx = ∫(1 + ln y) * (dy/y)

Для левой части:

∫5x dx = 5 * ∫x dx = (5/2) * x^2 + C1, где C1 - произвольная постоянная интегрирования.

Для правой части, воспользуемся заменой переменной. Пусть u = ln y, тогда du = (1/y) dy:

∫(1 + ln y) * (dy/y) = ∫(1 + u) du = u + (u^2)/2 + C2, где C2 - произвольная постоянная интегрирования.

Возвращаемся к переменной y:

u + (u^2)/2 + C2 = ln y + (ln y)^2/2 + C2

Таким образом, уравнение принимает вид:

(5/2) * x^2 + C1 = ln y + (ln y)^2/2 + C2

Объединим произвольные постоянные интегрирования в одну константу и перепишем уравнение в виде:

(5/2) * x^2 - ln y - (ln y)^2/2 = C

где C = C2 - C1 - произвольная постоянная.

Таким образом, общее решение уравнения имеет вид:

(5/2) * x^2 - ln y - (ln y)^2/2 = C