Question

Решить уравнение 5xydx=(1+ln y)dy.

Answer 1

Ответ:

должно быть правильно, не суть

Answer 2

Дано уравнение: 5xydx = (1 + ln(y))dy

Для начала, заметим, что уравнение содержит переменные x и y, поэтому мы будем решать его методом разделения переменных.

Для этого разделим обе части уравнения на x(1 + ln(y)):

(5xydx) / (x(1 + ln(y))) = dy

Теперь приведем уравнение к интегральному виду:

(5ydx) / (1 + ln(y)) = dy

Разделим числитель и знаменатель дроби на y:

(5dx) / (1 + ln(y)) = (dy) / y

Теперь проинтегрируем обе части уравнения:

∫ (5dx) / (1 + ln(y)) = ∫ (dy) / y

Для интеграла ∫ (5dx) / (1 + ln(y)), введем замену переменных u = 1 + ln(y), тогда du = (1/y)dy.

∫ (5dx) / (1 + ln(y)) = ∫ du = u + C1

где C1 - произвольная постоянная.

Для интеграла ∫ (dy) / y, получаем:

∫ (dy) / y = ln|y| + C2

где C2 - произвольная постоянная.

Таким образом, решение уравнения имеет вид:

u + C1 = ln|y| + C2

где C1 и C2 - произвольные постоянные.

Объединяя постоянные в одну, получаем окончательное решение уравнения:

ln|y| + C = u

где C - произвольная постоянная.

Заменяя u обратно на 1 + ln(y), получаем:

ln|y| + C = 1 + ln(y)

Вычитая ln(y) из обеих частей уравнения, получаем:

C = 1

Таким образом, окончательное решение уравнения:

ln|y| = 1 - ln(y)

Для нахождения значений y, возьмем экспоненту от обеих частей уравнения:

|y| = e^(1 - ln(y))

Разделим оба случая на положительное и отрицательное значение y:

y = e^(1 - ln(y)) или -y = e^(1 - ln(y))

В первом случае:

y = e^(1 - ln(y))

Упростим правую часть уравнения:

y = e * e^(-ln(y))

Применим свойство экспоненты e^(-ln(y)) = 1/y:

y = e/y

Умножим обе части уравнения на y:

y^2 = e

Таким образом, получаем два решения для первого случая:

y1 = sqrt(e) = e^(1/2)

и

y2 = -sqrt(e) = -e^(1/2)

Во втором случае:

-y = e^(1 - ln(y))

Умножим обе части уравнения на -1:

y = -e^(1 - ln(y))

Упростим правую часть уравнения:

y = -e * e^(-ln(y))

Применим свойство экспоненты e^(-ln(y)) = 1/y:

y = -e/y

Умножим обе части уравнения на y:

y^2 = -e

Так как квадрат числа не может быть отрицательным, второй случай не имеет решений.

Таким образом, окончательное решение уравнения:

y1 = e^(1/2)

и

y2 = -e^(1/2)