Question

В треугольнике DEX на стороне EX отметили точку P, а затем на отрезке PX – отметили точку M так, что угол PDM в два раза меньше угла EDX. На луче DE отметили точку O так, что углы OPD и DPX равны. На луче DX отметили точку K так, что равны углы KMD и DME. Докажите, что OP+KM=PM. ​

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Дано: ΔDEX;

∠EDX = 2∠PDM;

∠OPD = ∠DPX; ∠KMD = ∠DME;

Доказать: OP + KM = PM

Доказательство:

Дополнительное построение.

Отложим отрезок РА = РО.

1. Рассмотрим ΔDOP и ΔDPA.

PA = PO (построение);

∠OPD = ∠DPX (условие)

DP - общая.

⇒ ΔDOP = ΔDPA (по двум сторонам и углу между ними. 1 признак)

• В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы.

⇒ ∠ODP = ∠PDA

2. Пусть ∠ODP = α, а ∠MDX = β.

∠EDX = 2∠PDM (по условию)

⇒ ∠PDM = α + β

∠ODP = ∠PDA = α (п.1)

⇒ ∠ADM = ∠PDM - ∠PDA = α + β - α = β

3. Рассмотрим ΔDAM и ΔDMK.

∠ADM = ∠MDK = β (п.2)

∠KMD = ∠DME (условие)

DM - общая.

⇒ ΔDAM = ΔDMK (по стороне и двум прилежащим углам. 2 признак)

• В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны.

⇒ АМ = МК

4. РМ = РА + АМ или РМ = PO + KM.

Answer 2

Для начала обозначим углы треугольника DEX:

∠DEX = α ∠DXE = β ∠EXD = γ

Поскольку угол PDM в два раза меньше угла EDX, то:

∠PDM = α/2

Также, по условию, углы OPD и DPX равны:

∠OPD = ∠DPX = γ

И углы KMD и DME равны:

∠KMD = ∠DME = β

Теперь рассмотрим треугольник DPM. Из угловой суммы треугольника получаем:

∠DPM = 180° - ∠PDM - ∠DPX = 180° - α/2 - γ

Также, поскольку углы OPD и DPX равны, то угол DPO также равен γ.

Рассмотрим треугольник OPM. Из угловой суммы треугольника получаем:

∠OPM = 180° - ∠DPM - ∠DPO = 180° - (180° - α/2 - γ) - γ = α/2

Таким образом, углы OPM и PDM равны.

Теперь рассмотрим треугольник KPM. Из угловой суммы треугольника получаем:

∠KPM = 180° - ∠KMD - ∠DME = 180° - β - β = 180° - 2β

Также, поскольку углы KMD и DME равны, то угол KMD также равен β.

Таким образом, углы KPM и PDM равны.

Из равенства углов OPM и PDM, а также равенства углов KPM и PDM, следует, что треугольники OPM и KPM подобны.

Так как треугольники OPM и KPM подобны, то отношение соответствующих сторон равно:

OP/KP = PM/KM

Так как углы OPD и DPX равны, то по теореме об углах, образованных хордами, получаем:

OP/KP = DP/DP = 1

Следовательно, PM/KM = 1, что означает, что PM = KM.

Таким образом, доказано, что OP + KM = PM.