Question

Решите интеграл БІНОМ!!!

Answer 1

Ответ:

Почленовая интеграция:

Интеграл константы, умноженной на функцию равен интегралу функции умноженной на константу:

\int \frac{2 x^{5}}{3}\, dx = \frac{2}{3} \int x^{5}\, dx∫32x5dx=32∫x5dx

Интегралом от \displaystyle x^{n}xn равен \displaystyle \frac{x^{n + 1}}{n + 1}n+1xn+1 когда \displaystyle n \neq -1n=−1:

\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}∫x5dx=6x6

Таким образом, результат равен: \displaystyle \frac{x^{6}}{9}9x6

Не известны шаги для нахождения данного интеграла.

Но это интеграл равен

\frac{\sqrt{5} x \Gamma{\left(\frac{1}{3} \right)}}{3 \Gamma{\left(\frac{4}{3} \right)}} {{}_{2}F_{1}\left(\begin{matrix} - \frac{1}{2}, \frac{1}{3} \\ \frac{4}{3} \end{matrix}\middle| {\frac{x^{3}}{5} e^{i \pi}} \right)}3Γ(34)5xΓ(31)2F1(−21,3134∣∣5x3eiπ)

Интеграл константы, умноженной на функцию равен интегралу функции умноженной на константу:

\int - \frac{4}{x}\, dx = - 4 \int \frac{1}{x}\, dx∫−x4dx=−4∫x1dx

Результат равен:\ln{x}lnx

Таким образом, результат равен: \displaystyle - 4 \ln{\left (x \right )}−4ln(x)

Результат равен: \displaystyle \frac{x^{6}}{9} + \frac{\sqrt{5} x \Gamma{\left(\frac{1}{3} \right)}}{3 \Gamma{\left(\frac{4}{3} \right)}} {{}_{2}F_{1}\left(\begin{matrix} - \frac{1}{2}, \frac{1}{3} \\ \frac{4}{3} \end{matrix}\middle| {\frac{x^{3}}{5} e^{i \pi}} \right)} - 4 \ln{\left (x \right )}9x6+3Γ(34)5xΓ(31)2F1(−21,3134∣∣5x3eiπ)−4ln(x)

Добавьте постоянную интегрирования:

\frac{x^{6}}{9} + \frac{\sqrt{5} x \Gamma{\left(\frac{1}{3} \right)}}{3 \Gamma{\left(\frac{4}{3} \right)}} {{}_{2}F_{1}\left(\begin{matrix} - \frac{1}{2}, \frac{1}{3} \\ \frac{4}{3} \end{matrix}\middle| {\frac{x^{3}}{5} e^{i \pi}} \right)} - 4 \ln{\left (x \right )}+ \mathrm{const}9x6+3Γ(34)

Answer 2

Интеграл Бинома - это математическое выражение, которое возникает при интегрировании функции вида (a + bx)^n, где a, b и n - константы. Решение этого интеграла может быть достигнуто с использованием различных методов, таких как метод замены переменной или метод интегрирования по частям.

Метод интегрирования по частям

Один из методов решения интеграла Бинома - это метод интегрирования по частям. Этот метод основан на формуле интегрирования по частям, которая имеет вид:

∫ u dv = uv - ∫ v du

Для решения интеграла Бинома с помощью метода интегрирования по частям, мы выбираем u и dv таким образом, чтобы производная u была легко вычислима, а интеграл ∫ v du был более простым, чем исходный интеграл.

Пример решения интеграла Бинома

Давайте рассмотрим пример решения интеграла Бинома с помощью метода интегрирования по частям. Пусть нам нужно решить интеграл ∫ (1 + 2x)^3 dx.

1. Выберем u и dv: - u = (1 + 2x)^3 - dv = dx

2. Вычислим производную u: - du = 3(1 + 2x)^2 * 2 dx

3. Вычислим интеграл ∫ v du: - ∫ v du = ∫ dx = x

4. Применим формулу интегрирования по частям: - ∫ (1 + 2x)^3 dx = (1 + 2x)^3 * x - ∫ x * 3(1 + 2x)^2 * 2 dx

5. Упростим полученное выражение: - ∫ (1 + 2x)^3 dx = (1 + 2x)^3 * x - 6 ∫ x(1 + 2x)^2 dx

6. Продолжим применять метод интегрирования по частям к оставшемуся интегралу: - Выберем u = x и dv = (1 + 2x)^2 dx - Вычислим du = dx и ∫ v du = ∫ (1 + 2x)^2 dx

7. Продолжим упрощать полученное выражение: - ∫ (1 + 2x)^3 dx = (1 + 2x)^3 * x - 6(x * (1 + 2x)^2 - ∫ (1 + 2x)^2 dx)

8. Вычислим оставшийся интеграл: - ∫ (1 + 2x)^2 dx = ∫ (1 + 4x + 4x^2) dx = x + 2x^2 + (4/3)x^3

9. Подставим значение ∫ (1 + 2x)^2 dx в исходное выражение: - ∫ (1 + 2x)^3 dx = (1 + 2x)^3 * x - 6(x * (1 + 2x)^2 - (x + 2x^2 + (4/3)x^3))

10. Упростим полученное выражение и получим окончательный результат.

Окончательный результат: ∫ (1 + 2x)^3 dx = (1 + 2x)^3 * x - 6(x * (1 + 2x)^2 - (x + 2x^2 + (4/3)x^3))

Пожалуйста, обратите внимание, что приведенный пример является иллюстративным и может быть применен к интегралам Бинома различных степеней и с различными значениями констант a и b.